零空間

零空間是在線性映射（即矩陣）的背景下出現的，指：像為零的原像空間，即{x| Ax=0}。

在數學中，一個運算元 A 的零空間是方程 Av = 0 的所有解 v 的集合。它也叫做 A 的核，核空間。如果運算元是在向量空間上的線性運算元，零空間就是線性子空間。因此零空間是向量空間。

基本介紹

• 中文名：零空間
• 外文名：Null space
• 拼音：ling kong jian
• 屬於：向量空間
• 定義：像為零的原像空間
• 套用學科：數學

定義

定義：已知 為一個 矩陣。 的零空間（nullspace），又稱核（kernel），是一組由下列公式定義的 維向量：

即線性方程組 的所有解 的集合。

在數學中，一個運算元A的零空間是方程Av=0的所有解v的集合。它也叫做A的核，核空間。用集合建造符號表示為

例子

（1） 考慮函式 ：

它是一個線性映射，因為 。它的零空間由所有第一個和第二個坐標一致的向量組成，就是說描述了一條直線 。

（2）在一個線性空間中固定一個向量 並定義線性映射 為向量x 和y 的點積。它的零空間由所有正交於 y 的向量，即 y 的正交補組成。

性質

如果A是矩陣，它的零空間就是所有向量的空間的線性子空間。這個線性子空間的維度叫做A的零化度(nullity)。這可以計算為在矩陣A的行梯陣形式中不包含支點的縱列數。秩-零化度定理聲稱任何矩陣的秩加上它的零化度等於這個矩陣的縱列數。

對應於零奇異值的A的右奇異向量形成了A的零空間的基。

A的零空間可以用來找到和表達方程Ax=b的所有解(完全解)。如果 x₁是這個方程的一個解，叫做特定解，那么方程的完全解等於它的特定解加上來自零空間的任何向量。特定解依b而變化，而零空間的向量不是。

要證明這一點，我們考慮每個方向。在一個方向上，如果Ay=b，且Av=0，則明顯的A(y+v) =Ay+Av=b+0=b。所以y+v也是Ax=b的解。在其他方向上，如果我們有對Ax=b的另一個解z，則A(z−y) =Az−Ay= b−b = 0。所以向量u=z−y在A的零空間中而z=y+u。所以任何解都可以表示為一個零空間中的向量加上特定解y。

如果一個線性映射A是單同態，則它的零空間是零。因為如果反過來它的零空間是非零，由類似上面的方法可以得出Ay=b的解不止一個，也就是說線性映射A不是單射了。

如果映射是零映射，則零空間同於映射的定義域。

矩陣的零空間

考慮矩陣

要找到它的零空間，須找到所有向量v使得 Av=0。首先把 A 變換成簡約行梯陣形式

有Av=0若且唯若 Ev=0。使用符號 ，後者方程變為

所以，A 的零空間是一維空間，