厄米特矩陣（Hermitian Matrix，又譯作“埃爾米特矩陣”或“厄米矩陣”），指的是自共軛矩陣。矩陣中每一個第i行第j列的元素都與第j行第i列的元素的共軛相等。
基本介紹
- 中文名：厄米特矩陣
- 外文名：Hermitian Matrix
- 又譯作：埃爾米特矩陣
- 性質：自共軛
定義,性質,推論,
定義
n階複方陣A的對稱單元互為共軛，即A的共軛轉置矩陣等於它本身，則A是厄米特矩陣(Hermitian Matrix)。
例如：矩陣
， A就是一個自共軛矩陣。
性質
顯然，埃爾米特矩陣主對角線上的元素都是實數的，其特徵值也是實數。對於只包含實數元素的矩陣（實矩陣），如果它是對稱陣，即所有元素關於主對角線對稱，那么它也是埃爾米特矩陣。也就是說，實對稱矩陣是埃爾米特矩陣的特例。
若A和B是埃爾米特矩陣，那么它們的和A+B也是埃爾米特矩陣；而只有在A和B滿足交換性（即AB=BA）時，它們的積才是埃爾米特矩陣。
可逆的埃爾米特矩陣A的逆矩陣A仍然是埃爾米特矩陣。
如果A是埃爾米特矩陣，對於正整數n， 
是埃爾米特矩陣。
方陣C與其共軛轉置的和是埃爾米特矩陣。
任意方陣C都可以用一個埃爾米特矩陣A與一個斜埃爾米特矩陣B的和表示。
埃爾米特矩陣是正規矩陣，因此埃爾米特矩陣可被酉對角化，而且得到的對角陣的元素都是實數。這意味著埃爾米特矩陣的特徵值都是實的，而且不同的特徵值所對應的特徵向量相互正交，因此可以在這些特徵向量中找出一組C的正交基。
如果埃爾米特矩陣的特徵值都是正數，那么這個矩陣是正定矩陣，若它們是非負的，則這個矩陣是半正定矩陣。
推論
（1）n階厄米特矩陣A為正定（半正定）矩陣的充要條件是A的所有特徵值大於（大於等於）0。
（2）若A是n階厄米特矩陣，其特徵值對角陣為V，則存在一個酉矩陣U，使AU=UV。
（3）若A是n階厄米特矩陣，其弗羅伯尼範數的平方等於其所有特徵值的平方和。
