譜半徑

在數學中，矩陣或者有界線性運算元的譜半徑是指其特徵值絕對值集合的上確界，一般若為方陣A的譜半徑則寫作ρ(A)。

基本介紹

• 中文名：譜半徑
• 外文名：spectral radius
• 符號表示：一般方陣A的譜半徑寫作ρ(A)
• 所屬學科：數理科學
• 相關概念：矩陣範數、特徵值等

定義

若 是複數域上的n階方陣，又 是A的全部特徵值，則

稱為A的譜半徑。

譜半徑的估計

在討論矩陣的範數時，我們知道，矩陣A的每一個特徵值的模(絕對值)，都不超過矩陣A(在任意一種矩陣範數 定義下)的範數 即 。

由此即得：

定理1

複數域上的任一n階方陣 的譜半徑 都不超過A的範數 即

這裡 是任一方陣範數。

若取方陣範數 為 ， 或 ，則有下面的推論：

推論

（1）

（2）

（3）

這裡 為矩陣 的最大特徵值。

當 是正規矩陣時，則有下述定理。

定理2

若A為n階正規矩陣，則

證明 因A是正規矩陣，故存在酉矩陣P，使得

由此可得

從而

又顯然有

這裡是 中的某一值，因此有

而

所以 證畢。

由於對角形矩陣、實對稱矩陣、實反對稱矩陣、正交矩陣、酉矩陣、厄米特矩陣、反厄米特矩陣都是正規矩陣，所以對於它們都具有性質 。

定理3

對任意 ，存在 上的某種矩陣範數 ，使得對任意 恆有

注意：這裡的矩陣範數與矩陣A無關。