嚴格凸賦范線性空間

嚴格凸賦范線性空間(strictly convex normed linear space)是滿足嚴格凸性的一類賦范線性空間，簡稱為嚴格凸空間，常用於討論最佳逼近元的唯一性，以及有界線性泛函保范延拓的唯一性等問題。內積空間是嚴格凸空間。

基本介紹

• 中文名：嚴格凸賦范線性空間
• 外文名：(strictly convex normed linear space
• 相關概念：一致凸空間
• 本質：滿足嚴格凸性的一類賦范線性空間
• 舉例：內積空間
• 學科：數學

定義

定義1 設X為賦范線性空間，如果對任何非零元x，y，當

時，必有 ，其中 為一正數，則稱X為嚴格凸賦范線性空間，簡稱為嚴格凸空間。

舉例

（1）內積空間是嚴格凸空間。

（2）當p>1時，與均為嚴格凸空間。

嚴格凸的判定

法1-利用等價條件

定理1 賦范線性空間X是嚴格凸的充要條件是對X中單位球面上任意兩個不同的點x，y，均有
　　

證明：（1）必要性。若不然，則存在單位球面上兩個不同的點 ，及 ，使得

故有

由空間的嚴格凸性，存在 ，使得 即

由 得

故而 此為矛盾。

（2）充分性。若不然，則存在非零元 與 ，使得

但 於是，由充分性假設，

即

此為矛盾，證畢。

法2-利用一致凸空間

定義2 設X為賦范線性空間，如果對任何 當 且

時，均有

則稱X為一致凸空間。

這個定義也可敘述為：如果對任何 存在 當X中的單位向量x，y滿足時， 則稱X為一致凸空間。

定理2 一致凸空間必是嚴格凸的。

證明：若一致凸空間X不是嚴格凸的，則必存在X中兩個非零元，使得

由此易知

因為X是一致凸的，故而

這樣，

由條件即得

此為矛盾，證畢。

套用

賦范線性空間的嚴格凸性是一個重要的凸性概念，常用於討論有界線性泛函保范延拓的唯一性問題。下面是一個重要定理。

定理3 設X為賦范線性空間，是X的一個線性子空間，是上的一個連續線性泛函，如果是嚴格凸空間，則在全空間X上的保范線性延拓是唯一的。反之，若X為自反空間，對任何和，在X上的保范線性延拓是唯一的，則必是嚴格凸的。

定理3的證明參見參考文獻[1] 的36-37頁。