光滑巴拿赫空間

光滑巴拿赫空間（smooth Banach space）是指達到範數的泛函具有惟一性的巴拿赫空間。

基本介紹

• 中文名：光滑巴拿赫空間
• 外文名：smooth Banach space
• 適用範圍：數理科學

簡介

光滑巴拿赫空間是指達到範數的泛函具有惟一性的巴拿赫空間。

設X為巴拿赫空間，x₀是X的單位向量，如果存在惟一的f∈X*，||f||=1使得f(x₀)=1，則稱X在x₀處是光滑的。如果X在每個單位向量處都是光滑的，就稱X是光滑的，或X有光滑的範數或X的範數是光滑的。

性質

光滑性和嚴格凸性是對偶的兩個性質：如果X'是嚴格凸的，則X是光滑的；如果X'是光滑的，則X是嚴格凸的。

光滑性除了與嚴格凸性對偶外，它還和範數的弱可微性有緊密聯繫。

範數

範數(norm)是數學中的一種基本概念。在泛函分析中，它定義在賦范線性空間中，並滿足一定的條件，即①非負性；②齊次性；③三角不等式。它常常被用來度量某個向量空間（或矩陣）中的每個向量的長度或大小。

範數，是具有“長度”概念的函式。在線性代數、泛函分析及相關的數學領域，範數是一個函式，是矢量空間內的所有矢量賦予非零的正長度或大小。半範數可以為非零的矢量賦予零長度。

定義範數的矢量空間是賦范矢量空間；同樣，定義半範數的矢量空間就是賦半范矢量空間。