弱可微函式

弱可微函式亦稱有界變差函式，是光滑函式的一種測度積分意義下的推廣。

基本介紹

• 中文名：弱可微函式
• 外文名：weakly differentiable function
• 適用範圍：數理科學

弱可微函式亦稱有界變差函式，是光滑函式的一種測度積分意義下的推廣。

若f為R上的可微函式，則對於R上有緊支集的李普希茨向量場ξ，有

在上述等式中，對於等式的右邊，僅從定義來看，並不一定要求f光滑，為了使右邊的積分有意義，僅要求f局部μ_n可積即可，因此，對於局部μ_n可積的f，上式右邊的積分可看做由f確定的某個線性泛函在ξ的值，這個泛函就稱為f的弱微分，這種f稱為弱可微函式。

開集Ω上全體弱可微函式之集記為BV(Ω)，則BV(Ω)按範數

形成一個巴拿赫空間。

弱可微函式曾在各種場合下出現，首先是在勒貝格面積論，而後是在偏微分方程論中。特別地，它是極小曲面理論中的有力工具。

(smooth function)

光滑函式在數學中特指無窮可導的函式。若一函式是連續的，則稱其為函式；若函式存在連續導函式，即連續可導，則被稱為函式；若一函式n階可導，並且其n階導函式連續，則為函式。而光滑函式是對所有n都屬於的函式，特稱其為光滑函式。