分段可微函式

分段可微函式(piecewise differentiable function)是可微函式的推廣。若在區間[a，b]上，(一元)函式f只有有限個第一類間斷點，且在這些點存在廣義單側導數，在[a，b]上其餘點f可微，則f稱為[a，b]上的分段可微函式。若f定義在無窮區間上，且在其任意閉子區間上分段可微，則f稱為在此無窮區間上分段可微。分段可微函式的圖象處處有切線或單側切線。

基本介紹

• 中文名：分段可微函式
• 外文名：piecewise differentiable function
• 所屬學科：數學（微分學）
• 屬性：可微函式的推廣
• 相關概念：連續函式，導數，可導，可積等

基本介紹

導數

現在複習一下導數的概念：如果差商極限

存在(有限)，就把這極限值叫做在的導數(或微商)，記作。單側導數的定義：首先，設在的右極限存在。如果以下差商右極限

存在(有限)，就把這極限值叫做在點的右導數；其次，設在的左極限存在，如果

存在(有限)，就把這極限值叫做在點的左導數。

可微與分段可微

如果函式在閉區間的每點有導數(在點只要右導數，在b點只要左導數)，就說在區間可微。其直觀意義就是的圖象在上處處有確定的切線。

可以把在區間的可微推廣為分段可微：如果能把閉區間分成有限多個閉區間，使分別在每個小的閉區間上可微，就說函式在上分段可微。例如圖1就表示一個在上分段可微的函式，分開的小閉區間就是，這樣分開的小的閉區間叫做的可微區間。

圖1

如果在整個數軸上有意義，且在數軸上的任何閉區間(長度有限)上分段可微，就說在整個數軸上分段可微。

分段可微函式不但可能有有限跳躍，而且其圖象可能有“尖點”，即左、右導數存在但不相等的連續點(如圖1中處)。

相關結論

關於分段連續

（1）如果在數軸上分段連續，它在任何閉區間上分段連續，就是說，可把分成有限多個小的閉區間，分別在這些小的閉區間上連續。這樣，就分別在這些連續區間上可積，從而在可積。

（2）如果在數軸上分段連續，那么，在它的連續區間內部的點上，的極限存在，即左、右極限都存在且相等。在連續區間的右端點，例如在圖1中區間的右端點，的左極限存在。但同時是右方相鄰的連續區間的左端點，故在的右極限也存在。總而言之，在數軸上的任何點，分段連續函式的左、右極限都存在。在唯一可能的間斷性是，這種間斷性稱為有限跳躍。分段連續函式不能具有象在那樣的間斷性。

分段可微函式

（3）如果在數軸上分段可微，則它在可微區間上必連續，於是在數軸上分段連續，根據（1），知在任何閉區間上可積。

（4）通過類似（2）中的討論可知，如在數軸上分段可微，則在數軸上的任何點都具有左導數和右導數。

（5）設只是在長為T的區間上給出的分段可微函式，把按周期T延拓到整個數軸上(仍用表示延拓後的函式)。那么，延拓後的必是數軸上分段可微的函式。這時。