若在區間(a，b)中，函式f(x)能夠表成Φ(x)一Ψ(x)的形狀，而Φ與Ψ都是非減有界函式，則稱f(x)在(a，b)中是有界變差的．易見兩有界變差函式的和、差與積也都是有界變差的．
基本介紹
- 中文名：有界變差函式
- 外文名：bounded variation
- 含義：表為兩個單調增函式之差的實值
- 類別：常用的函式類
定義,性質,
定義
它的另外幾種定義如下：
定義一
設區間(a，b)被點a=x0<x1<…<xn=b所劃分，若
定義二
設f是定義在區間[a,b]上的函式，考察[a,b]上的任意一組分點：a=x0<x1<…<xn=b，當分點變動時，稱上確界
為f在[a,b]上的全變差(或全變分)．並記為
．若<+∞．則稱f為[a,b]上的有界變差函式(或囿變函式)．
定義三
設f(x)為定義在[a,b]上的函式，任取[a,b]的分割D：a=x0<x1<…<xn=b，
令
則稱f(x)為[a，b]上的有界變差函式。記(f)=sup(f，D)，稱(f)為f(x)在[a，b]上的全變差或總變差。
性質
1.單調函式是有界變差函式．
2.有限個有界變差函式的和、差、乘積仍為有界變差函式．
3.兩個有界變差函式之商(分母不為零)仍為有界變差雨數．
4.(Jordan分解定理)f為[a,b]上的有界變差函式的充要條件是f可表為兩個不減的非負函式之差．
5.（Lebesgue) 若f是[a,b]上的單凋函式．則f在[a,b]上幾乎處處可微。
6.絕對連續函式必是有界變差函式．
7.若f(x)是[a,b]上的有界變差函式，則∣f(x)∣在[a,b]上必為有界變差函式；
8.設f(x)是[a,b]上的有界變差函式，且a<c<b，則f(x)在[a，c]和[c，b]上均為有界變差函式，且有(f)=
(f)+
(f)；
9.設f(x)，g(x)都是[a,b]上有界變差函式，α、β為兩個常數，則αf(x)+βg(x)是[a,b]上的有界變差函式；
10.設f(x)，g(x)都是[a,b]上有界變差函式，則f(x)g(x)在[a,b]上亦為有界變差函式；
11.設{fn(x)}為[a,b]上的有界變差函式列，且{(fn)}有界
=f(x)，則f(x)在[a,b]上為有界變差函式。
推論：有界變差函式幾乎處處可微．
