記號
通用的區間記號中,圓括弧表示“排除”,方括弧表示“包括”。例如,區間(10, 20)表示所有在10和20之間的實數,但不包括10或20。另一方面,[10, 20]表示所有在10和20之間的實數,以及10和20。而當我們任意指一個區間時,一般以大寫字母 I 記之。
有的國家是用逗號來代表小數點,為免產生混淆,分隔兩數的逗號要用分號來代替。例如[1, 2.3]就要寫成[1; 2,3]。否則,若只把小數點寫成逗號,之前的例子就會變成 [1,2,3] 了。這時就不能知道究竟是 1.2 與 3 之間,還是 1 與 2.3 之間的區間了。
在法國及其他一些歐洲國家,是用
與
代替
與
。比如
寫成
,
寫成
。這種寫法原先也包括在
國際標準化組織編制的ISO 31-11內。ISO 31-11是一套有關物理科學及科技中所使用的數學符號的規範。在2009年,已由新制訂的ISO 80000-2所取替,不再包括
與
的用法。
定義
注意
均是代表
空集,單元素集合不能用區間表示,如集合{0}不能表示為[0]或[0,0]。而當a>b時,上述的四種記號一般都視為代表空集。區間不為空集時,a, b稱為區間的
端點。一般定義 b - a 為區間的長度。區間的
中點則為 (a+b)/2。
區間[a,b]有時也稱為
線段。(不為空集或單元素集的話)
除了表示區間,圓括弧和方括弧也有其他用法,視乎語境而定。譬如
也可表示
集合論中的
有序對丶解析幾何中
點的
坐標,
線性代數中
向量的坐標,有時也用來表示一個
複數,有時在數論中,用
表示整數
的最大公約數。
也偶爾用作表示有序對,尤其在計算機科學的範疇里。同樣在數論里,用
表示整數
的最低公倍數。
有部分作者以
來表示區間
在實數集裡的
補集,即是包含了小於或等於a的實數,以及大於或等於b的實數。
無限區間
我們可以用
符號來表示區間在某方向上
無界。具體定義如下:
特別地,
表示正實數集,亦記作
。
則表示了非負實數集。
如果區間是單側無界,也稱為
射線或
半直線。如果它包含有限端點,則稱其為閉射線或閉半直線。如果不包含有限端點,則稱其為開射線或開半直線。
一般使用的便是以上五種記號,而
等的寫法則相當少見。有的作者假定區間為實數集的子集,對於他們來說,這些寫法要麽是無意義,要麽就是跟用圓括弧的意思沒兩樣。在後者的情況下,我們可以寫作
。於是實數集可被視為又開又閉的區間。
除了[a..b],也有{a..b}和a..b的寫法,意思一樣。
如果一個整數區間是有界的話,那麽它必然包含最小數a和最大數b。因此,如果想定義去掉最小數或最大數的區間,只需用[a..b-1], [a+1..b]或[a+1..b-1]表示。無需像實數區間般引進 [a..b)或(a..b)的記號。
分類
實數區間一共可分成11種,如下所列。其中a,b是實數,且a<b。
2.
退化區間 (degenrate interval):
有界區間
單側無界
有上界但無下界:
#1、#4、#8、#10、和#11可稱為“開區間”(標準拓撲下是
開集),#1、#2、#3、#7、#9和#11可稱為“閉區間”(標準拓撲下是
閉集)。#3和#4有時稱為“半開區間”或“半閉區間”。#1和#11同時為“開”和“閉”,並非“半開”、“半閉”。
區間表示法
區間表示法是指在實數線上,以視覺化的方式表示出一個區間的範圍。亦指以區間形式給出(含有一個
未知數x的)
不等式的解集。
性質
區間也恰好涵蓋了實數集的所有凸的子集。另,設X是
的一個子集,如果Y是包含X的最小閉區間(即如果 Z是另一個包含X的閉區間, Y也包含於Z), 便是Y的
凸包。實際上,
。
任意一組區間的
交集仍然是區間。兩個區間的
並集是區間,若且唯若它們的交集非空,又或者一個區間所不包含的端點,恰好是另一個區間包含的端點。例如:
。
如果把
當作
度量空間,它的
開球便是區間
(r為正數),閉球便是區間
。
定義推廣
多維區間
一個n維區間可定義為
的子集,其為n個區間的
笛卡爾積,即
。
n=2時,一般來說是定義了一個長方形,它的長和闊分別平行於兩條坐標軸。n=3時,一般的是定義了一個長方體,它的各邊同樣是平行於坐標軸。
複數區間
複數的區間可定義成
複平面上的一個區域,兩種合理的選擇是長方形或圓盤。
區間算術
區間算術又稱區間數學、
區間分析、區間計算,在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。
[a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]
被一個包含零的區間除,在基礎區間算術上無定義。
區間算術的加法和乘法符合
交換律、
結合律和子
分配律:集
X (
Y +
Z )是
XY +
XZ的子集。