向量(數學用語)

在數學中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。與向量對應的量叫做數量（物理學中稱標量），數量（或標量）只有大小，沒有方向。

向量的記法：印刷體記作黑體（粗體）的字母（如a、b、u、v），書寫時在字母頂上加一小箭頭“→”。如果給定向量的起點（A）和終點（B），可將向量記作AB（並於頂上加→）。在空間直角坐標系中，也能把向量以數對形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。

在物理學和工程學中，幾何向量更常被稱為矢量。許多物理量都是矢量，比如一個物體的位移，球撞向牆而對其施加的力等等。與之相對的是標量，即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關的定義亦與物理概念有密切的聯繫，例如向量勢對應於物理中的勢能。

幾何向量的概念在線性代數中經由抽象化，得到更一般的向量概念。此處向量定義為向量空間的元素，要注意這些抽象意義上的向量不一定以數對表示，大小和方向的概念亦不一定適用。因此，平日閱讀時需按照語境來區分文中所說的"向量"是哪一種概念。不過，依然可以找出一個向量空間的基來設定坐標系，也可以透過選取恰當的定義，在向量空間上介定範數和內積，這允許我們把抽象意義上的向量類比為具體的幾何向量。

基本介紹

• 中文名：向量
• 外文名：vector
• 別稱：矢量
• 套用學科：物理，解析幾何，計算機編程
• 適用領域範圍：數學中的平面向量
• 適用領域範圍：計算機賦值向量

發展歷史

向量，最初被套用於物理學。很多物理量如力、速度、位移以及電場強度、磁感應強度等都是向量。大約公元前350年前，古希臘著名學者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到。“向量”一詞來自力學、解析幾何中的有向線段。最先使用有向線段表示向量的是英國大科學家牛頓。

向量

從數學發展史來看，歷史上很長一段時間，空間的向量結構並未被數學家們所認識，直到19世紀末20世紀初，人們才把空間的性質與向量運算聯繫起來，使向量成為具有一套優良運算通性的數學體系。

向量能夠進入數學並得到發展，首先應從複數的幾何表示談起。18世紀末期，挪威測量學家威塞爾首次利用坐標平面上的點來表示複數a+bi（a,b為有理數，且不同時等於0），並利用具有幾何意義的複數運算來定義向量的運算。把坐標平面上的點用向量表示出來，並把向量的幾何表示用於研究幾何問題與三角問題。人們逐步接受了複數，也學會了利用複數來表示和研究平面中的向量，向量就這樣平靜地進入了數學中。

但複數的利用是受限制的，因為它僅能用於表示平面，若有不在同一平面上的力作用於同一物體，則需要尋找所謂三維“複數”以及相應的運算體系。19世紀中期，英國數學家哈密爾頓發明了四元數（包括數量部分和向量部分），以代表空間的向量。他的工作為向量代數和向量分析的建立奠定了基礎．隨後，電磁理論的發現者，英國的數學物理學家麥克斯韋把四元數的數量部分和向量部分分開處理，從而創造了大量的向量分析。

三維向量分析的開創，以及同四元數的正式分裂，是英國的居伯斯和海維塞德於19世紀80年代各自獨立完成的。他們提出，一個向量不過是四元數的向量部分，但不獨立於任何四元數。他們引進了兩種類型的乘法，即數量積和向量積。並把向量代數推廣到變向量的向量微積分．從此，向量的方法被引進到分析和解析幾何中來，並逐步完善，成為了一套優良的數學工具。

表達方式

代數表示

一般印刷用黑體的小寫英文字母（a、b、c等）來表示，手寫用在a、b、c等字母上加一箭頭（^→）表示，如 ，也可以用大寫字母AB、CD上加一箭頭（^→）等表示。

幾何表示

向量可以用有向線段來表示。有向線段的長度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的長度。長度為0的向量叫做零向量，記作長度等於1個單位的向量，叫做單位向量。箭頭所指的方向表示向量的方向。

向量表示

坐標表示

在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為一組基底。a為平面直角坐標系內的任意向量，以坐標原點O為起點P為終點作向量a。由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數（x,y），使得a=xi+yj，因此把實數對(x,y)叫做向量a的坐標，記作a=(x,y)。這就是向量a的坐標表示。其中(x,y)就是點 的坐標。向量a稱為點P的位置向量。

向量的坐標表示

在空間直角坐標系中，分別取與x軸、y軸，z軸方向相同的3個單位向量i，j，k作為一組基底。若為該坐標系內的任意向量，以坐標原點O為起點作向量a。由空間基本定理知，有且只有一組實數(x,y,z)，使得a=ix+jy+kz，因此把實數對(x,y,z)叫做向量a的坐標，記作a=(x,y,z)。這就是向量a的坐標表示。其中(x,y,z)，就是點P的坐標。向量a稱為點P的位置向量。

當然，對於多維的空間向量，可以通過類推得到，此略。

向量的矩陣表示

行列式的幾何意義

行列式的值是一個數字，表示向量所在空間的【元素】 大小。

比如，在平面直角坐標系中，整個平面可以由長寬均為1的方格構成，這個方格的大小為1。這個方格就是平面直角坐標系中的【元素】，大小為1。

平面坐標系中所有的點都可以用 這兩個向量來刻畫，這兩個向量也叫平面直角坐標空間的【標度】。

這兩向量構成的行列式 那么，平面直角坐標系單元格大小，也就是【元素】大小為1的正方塊。

再比如，我們對平面直角坐標系拉伸，用如下兩個向量來刻畫

那么，這個新坐標系（2維空間）的【元素】大小為2的長方塊。

再比如，我們對平面直角坐標系變形，用如下兩個向量來刻畫

那么，這個新坐標系（2維空間）的【元素】大小為2的平行四邊形塊。

從以上3個例子，可以看出來：在2維空間中，兩個2維向量構成的的行列式的值，等同於兩個向量組成的平行四邊形面積大小。也就是說，在2維空間中，兩個2維向量構成的的行列式的值，等同於兩個2維向量的【叉積】。

進一步，看3維空間。

比如，在空間直角坐標系中，這個空間可以由長寬高均為1的正方體構成，這個正方體的大小為1。這個正方體就是空間直角坐標系（3維空間）中的【元素】，大小為1。

那么可以看出來：在3維空間中，三個3維向量構成的的行列式的值，等同於三個3維向量的【混合積】。

由此，擴展到n維空間。在n維空間中，n個n維向量構成的行列式的值，表示n維向量所在的n維空間的【元素】 大小。同時，這n個n維向量也叫n維空間的【標度】。

相關定義

有向線段

規定若線段 的端點為起點， 為終點，則線段就具有了從起點 到終點 的方向和長度。

具有方向和長度的線段叫做有向線段。

向量的模

向量的大小，也就是向量的長度(或稱模)。向量a的模記作|a|。

註：

1．向量的模是非負實數，向量的模是可以比較大小的。向量 ， 。

2．因為方向不能比較大小，所以向量也就不能比較大小。對於向量來說“大於”和“小於”的概念是沒有意義的。例如 是沒有意義的。

單位向量

長度為一個單位（即模為1）的向量，叫做單位向量。與a同向，且長度為單位1的向量，叫做a方向上的單位向量，記作 。

負向量

如果向量AB與向量CD的模相等且方向相反，那么我們把向量AB叫做向量CD的負向量，也稱為相反向量。

零向量

長度為0的向量叫做零向量，記作0。零向量的始點和終點重合，所以零向量沒有確定的方向，或說零向量的方向是任意的。

相等向量

長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a與b相等，記作a=b。

規定：所有的零向量都相等。

當用有向線段表示向量時，起點可以任意選取。任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，並且與有向線段的起點無關．同向且等長的有向線段都表示同一向量。

自由向量

始點不固定的向量，它可以任意的平行移動，而且移動後的向量仍然代表原來的向量。

向量

在自由向量的意義下，相等的向量都看作是同一個向量。

數學中只研究自由向量。

滑動向量

沿著直線作用的向量稱為滑動向量。

固定向量

作用於一點的向量稱為固定向量（亦稱膠著向量）。

位置向量

對於坐標平面內的任意一點P，我們把向量OP叫做點P的位置向量，記作：向量P。

方向向量

直線l上的向量a以及與向量a共線的向量叫做直線l上的方向向量。

相反向量

與a長度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，記作-a，有 -(-a)=a，零向量的相反向量仍是零向量。

平行向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共線）向量．向量a、b平行（共線），記作a∥b。零向量長度為零，是起點與終點重合的向量，其方向不確定。我們規定：零向量與任一向量平行。平行於同一直線的一組向量是共線向量。

若a=(x,y)，b=(m,n)，則a//b→a×b=xn-ym=0

共面向量

平行於同一平面的三個（或多於三個）向量叫做共面向量。

空間中的向量有且只有以下兩種位置關係：⑴共面；⑵不共面。

注意：只有三個或三個以上向量才談共面不共面。

法向量

直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量。

法向量

向量的和的模

設平面直角坐標系xOy中，有點A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，則

運算

設 ， 。

加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則， 。

向量的加法

向量加法的運算律：

交換律：a+b=b+a；

結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

減法

如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0

OA-OB=BA.即“共同起點，指向被減”

向量的減法

a=(x₁,y₁)，b=(x₂,y₂) ，則a-b=(x₁-x₂,y₁-y₂).

如圖：c=a-b 以b的結束為起點，a的結束為終點。

加減變換律：a+(-b)=a-b

數乘

實數λ和向量a的叉乘乘積是一個向量，記作λa，且|λa|=|λ|*|a|。

當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ=0時，λa=0，方向任意。當a=0時，對於任意實數λ，都有λa=0。

註：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

實數λ叫做向量a的係數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

當 |λ| >1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸長為原來的|λ|倍

當|λ|<1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上縮短為原來的 |λ|倍。

實數p和向量a的點乘乘積是一個數。

數與向量的乘法滿足下面的運算律

結合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量對於數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

數對於向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

需要注意的是：向量的加減乘（向量沒有除法）運算滿足實數加減乘運算法則。

數量積

定義：已知兩個非零向量a,b，作OA=a,OB=b，則∠AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作θ並規定0≤θ≤π

定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量（沒有方向），記作a·b。

若a、b不共線，則 ；若a、b共線，則 。

向量的數量積的坐標表示：a·b=x·x'+y·y'。

向量的數量積的運算律

a·b=b·a（交換律）

(λa)·b=λ(a·b)(關於數乘法的結合律)

（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）

向量的數量積的性質

a·a=|a|的平方。

a⊥b〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。（該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因為0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）

向量的數量積與實數運算的主要不同點

1．向量的數量積不滿足結合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)²≠a²·b²。

2．向量的數量積不滿足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。

3．|a·b|與|a|·|b|不等價

4．由 |a|=|b| ，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反過來則成立。

向量積

定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作a×b（這裡“×”並不是乘號，只是一種表示方法，與“·”不同，也可記做“∧”）。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直於a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b垂直，則∣a×b∣=|a|*|b|（此處與數量積不同，請注意），若a×b=0，則a、b平行。向量積即兩個不共線非零向量所在平面的一組法向量。

向量的幾何表示

運算法則：運用三階行列式

設a,b,c分別為沿x,y,z軸的單位向量

A=(x1,y1,z1)，B=（x2,y2,z2），則

向量的向量積性質：

|a×b|是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a平行b〈=〉a×b=0

向量的向量積運算律

a×b=-b×a

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)

a×(b+c)=a×b+a×c.

(a+b)×c=a×c+b×c.

上兩個分配律分別稱為左分配律和右分配律。在演算中應注意不能交換“×”號兩側向量的次序。

注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。

三向量混合積

定義：給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數量積(a×b)·c，所得的數叫做三向量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c

向量的混合積

混合積具有下列性質：

1．三個不共面向量a、b、c的混合積的絕對值等於以a、b、c為棱的平行六面體的體積V，並且當a、b、c構成右手系時混合積是正數；當a、b、c構成左手系時，混合積是負數，即(abc)=εV（當a、b、c構成右手系時ε=1；當a、b、c構成左手系時ε=-1）

2．上性質的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是(abc)=0

3．(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)

雙重向量積

給定空間的三個向量a,b,c,如果先做其中兩個向量a,b的向量積a×b，再做所得向量與第三向量的向量積，那么最後的結果仍然是一個向量，叫做所給三向量的雙重向量積，記做：(a×b)×c。

性質：

(a×b)×c=(a·c)·b-(b·c)·a

a×(b×c)=-(b×c)×a=(a·c)·b-(a·b)·c

關係式

給定空間內四個向量a、b、c、d，則這四個向量之間滿足如下關係：

證明：

由混合積的性質可知

（即把c×d看成一個新的向量e，利用性質(a×b)·e=a·(b×e)）

再根據二重向量積的性質可知

該公式可用於證明三維的柯西不等式

證明：令公式中a=c、b=d，則：

設 ，那么：

即

等號成立的條件是 ，即a、b共線（ 或b=0）

兩個向量構成的平行四邊形的面積公式

向量定理

共線定理

若b≠0，則a//b的充要條件是存在唯一實數λ，使 。若設a=(x₁,y₁)，b=(x₂,y₂) ，則有 ，與平行概念相同。 平行於任何向量。

垂直定理

a⊥b的充要條件是a·b=0，即(x₁x₂+y₁y₂)=0 。

分解定理

平面向量分解定理：如果 、 是同一平面內的兩個不平行向量，那么對於這一平面內的任一向量，有且只有一對實數 ，使 ，我們把不平行向量 、 叫做這一平面內所有向量的基底。

定比分點公式

叫做點P分有向線段 所成的比。

三點共線定理

已知O是AB所在直線外一點，若 ,且 則A、B、C三點共線

重心判斷式

在△ABC中，若 ，則G為△ABC的重心。

垂心判斷式

在△ABC中，若 ，則H為△ABC的垂心。

內心判斷式

在△ABC中，若 ，且 ，則I為△ABC的內心。

外心判斷式

在△ABC中，若 ，則O為△ABC的外心

此時O滿足 。

向量空間

定義

給定域F，一個F上的向量空間是一個F-模。

同構

給定域F上的兩個向量空間V與V' ，如果存在一個雙射φ：V→V'，並且 ， ， 。這樣V與V' 便是同構的。

映射

給兩個向量空間V和W在同一個F場，設定由V到W的線性變換或“線性映射” ，這些由V到W的映射都有共同點就是它們保持總和及標量商數。這個集合包含所有由V到W的線性映像，以 L(V,W) 來描述，也是一個F場裡的向量空間。當V及W被確定後，線性映射可以用矩陣來表達。同構是一對一的一張線性映射。如果在V 和W之間存在同構， 我們稱這兩個空間為同構。一個在F場的向量空間加上線性映像就可以構成一個範疇，即阿貝爾範疇。

延伸

研究向量空間一般會涉及一些額外結構。額外結構如下：

一個實數或複數向量空間加上長度概念。就是範數稱為賦范向量空間。

一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念，稱為內積空間。

一個向量空間加上拓撲學符合運算的（加法及標量乘法是連續映射）稱為拓撲向量空間。

一個向量空間加上雙線性運算元（定義為向量乘法）是個域代數。

子空間及基

一個向量空間V的一個非空子集合W在加法及標量乘法中表現密閉性，被稱為V的線性子空間。給出一個向量集合B，那么包含它的最小子空間就稱為它的擴張，記作span(B)。給出一個向量集合B，若它的擴張就是向量空間V， 則稱B為V的生成集。一個向量空間V最大的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若V=0，唯一的基是空集。對非零向量空間 V，基是 V 最小的生成集。如果一個向量空間 V 擁有一個元素個數有限的生成集，那么就稱V是一個有限維空間。向量空間的所有基擁有相同基數，稱為該空間的維度。例如，實數向量空間： 中， 的維度就是n。空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。把基中元素排列，向量便可以坐標系統來呈現。

向量的中線公式

若P為線段AB的中點，O為平面內一點，則 。