向量分析(數學概念)

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向量分析數學的分支,關心擁有兩個維度或以上的向量的多元實分析。它有一套方程式及難題處理技巧對物理學及工程學特別有幫助。在微分幾何偏微分方程的研究中起著重要作用。它被廣泛套用於物理工程中,特別是在描述電磁場引力場和流體流動的時候。

基本介紹

  • 中文名:向量分析
  • 屬於學科:數學
  • 梯度:量度標量場改變的速度與方向
  • 旋度:向量場傾向繞著一個點旋轉的程度
簡介,相關套用,1.代數運算,2.微分運算,3.相關定理,擴展,

簡介

向量分析關注向量場微分積分,主要在3維歐幾里得空間
中。“向量分析”有時用作多元微積分的代名詞,其中包括向量分析,以及偏微分和多重積分等更廣泛的問題。
向量分析從四元數分析發展而來,由約西亞·吉布斯和奧利弗·黑維塞於19世紀末提出,大多數符號和術語由吉布斯和黑維塞在他們1901年的書《向量分析》中提出。向量演算的常規形式中使用外積,不能推廣到更高維度,而另一種幾何代數的方法,它利用可以推廣的外積,下文將會討論。

相關套用

1.代數運算

向量分析中的基本代數(非微分)運算的稱為向量代數,定義在向量空間,然後套用到整個向量場,包括:
標量場和向量場相乘,產生向量場:
2.向量加法
兩個向量場相加,產生向量場:
兩個向量場相乘,產生標量場:
兩個向量場相乘,產生向量場:
5.標量三重積
向量和兩個向量叉積的點積
6.向量三重積
向量和兩個向量叉積的叉積
儘管三重積不常作為基本運算,不過仍可以用內積及外積表示。

2.微分運算

向量分析研究定義在標量場或向量場定義的不同微分運算元,通常用的向量運算元(∇)來表示,也被稱為“Nabla運算元”。向量分析的五個最重要的微分運算:
運算元表示敘述界域
梯度
標量場
於場中某點增加率最大的速率與方向
標量場的梯度是向量場
散度
向量場
於場中某點附近發散或匯聚的程度
向量場的散度是標量場
旋度
向量場
於場中某點附近旋轉的程度
向量場的旋度是向量場
向量拉普拉斯運算元
均值在無窮小的球內向量場的值不同的程度
向量場的向量拉普拉斯是向量場
拉普拉斯運算元
對標量場
作梯度運算後,再作散度運算
標量場的拉普拉斯是標量場

3.相關定理

同樣,也有幾個與這幾個相關的重要定理,將微積分基本定理拓展到了更高維度:
定理表示註解
梯度定理
梯度(向量)場中的曲線積分與它的標量場中兩個端點的差。
格林定理
平面內向量場中區域的標量旋度,等於向量場沿逆時針方向的封閉曲線的線積分。
斯托克斯定理
內向量場的旋度的曲面積分,等於向量場在曲面邊界上的線積分。
高斯散度定理
向量場的散度對體積的積分,等於穿過包圍體積的閉曲面通量的積分。

    擴展

    • 保守向量場
    • 螺線向量場
    • 同源理論

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