法向量

法向量

法向量是空間解析幾何的一個概念,垂直於平面的直線所表示的向量為該平面的法向量。由於空間內有無數個直線垂直於已知平面,因此一個平面都存在無數個法向量(包括兩個單位法向量)。

基本介紹

  • 中文名:法向量
  • 外文名:normal vector
  • 套用學科:數學
  • 適用領域範圍:解析幾何
  • 定義:垂直於平面的直線所表示的向量
  • 相關術語:法線
定義,計算,唯一性,變換,套用,

定義

三維平面法線垂直於該平面的三維向量。曲面在某點P處的法線為垂直於該點切平面(tangent plane)的向量。
法線是與多邊形(polygon)的曲面垂直的理論線,一個平面(plane)存在無限個法向量(normal vector)。在電腦圖學(computer graphics)的領域裡,法線決定著曲面與光源(light source)的濃淡處理(Flat Shading),對於每個點光源位置,其亮度取決於曲面法線的方向。
如果一個非零向量n與平面a垂直,則稱向量n為平面a的法向量。
垂直於平面的直線所表示的向量為該平面的法向量。每一個平面存在無數個法向量。

計算

對於像三角形這樣的多邊形來說,多邊形兩條相互不平行的邊的叉積就是多邊形的法線。
用方程ax+by+cz=d表示的平面,向量(a,b,c)就是其法線。
如果S曲線坐標x(s,t)表示的曲面,其中st實數變數,那么用偏導數叉積表示的法線為
如果曲面S隱函式表示,點集合(x,y,z)滿足 F(x,y,z)=0,那么在點(x,y,z)處的曲面法線用梯度表示為
如果曲面在某點沒有切平面,那么在該點就沒有法線。例如,圓錐的頂點以及底面的邊線處都沒有法線,但是圓錐的法線是幾乎處處存在的。通常一個滿足Lipschitz連續的曲面可以認為法線幾乎處處存在。

唯一性

曲面(surface)上的法線向量場(vector field of normals)
曲面法線的法向不具有唯一性(uniqueness),在相反方向的法線也是曲面法線。曲面在三維的邊界(topological boundary)內可以分區出inward-pointing normal 與 outer-pointing normal, 有助於定義出法線唯一方法(unique way)。定向曲面的法線通常按照右手定則來確定。

變換

變換矩陣可以用來變換多邊形,也可以變換多邊形表面的切向量(tangent vector)。 設n′W n。我們必須發現W
W n垂直(perpendicular)於M t
很明白的選定Ws.t.
將可以滿足上列的方程式,按需求,再以
垂直於(perpendicular)
或一個n′垂直於t′

套用

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