基本介紹
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基本介紹
解析幾何包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分。平面解析幾何通過平面直角坐標系，建立點與實數對之間的一一對應關係，以及曲線與方程之間的一一對應關係，運用解析式來研究幾何問題。17世紀以來，由於航海、天文、力學、經濟、軍事、生產的發展，以及初等幾何和初等代數的迅速發展，促進了解析幾何的建立，並被廣泛套用於數學的各個分支。在解析幾何創立以前，幾何與代數是相對獨立的兩個分支。解析幾何的建立第一次真正實現了幾何方法與代數方法的結合，使形與數統一起來，這是數學發展史上的一次重大突破。作為變數數學發展的第一個決定性步驟，解析幾何的建立對於微積分的誕生有著不可估量的作用——儘管微分和積分都可以被定義為兩種特殊的極限表達式。
笛卡爾
笛卡爾歷史介紹
出現原因
十六世紀以後，由於生產和科學技術的發展，天文、力學、航海等方面都對幾何學提出了新的需要。比如，德國天文學家克卜勒發現行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行的，太陽處在這個橢圓的一個焦點上；義大利科學家伽利略發現投擲物體是沿著拋物線運動的。這些發現都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較複雜的曲線，原先的一套方法顯然已經不適應了，這就導致了解析幾何的出現。
笛卡爾研究
1637年，法國的哲學家和數學家笛卡爾發表了他的著作《方法論》，這本書的後面有三篇附錄，一篇叫《折光學》，一篇叫《流星學》，一篇叫《幾何學》。當時的這個“幾何學”實際上指的是數學，就像我國古代“算術”和“數學”是一個意思一樣。
費馬是一個業餘從事數學研究的學者
費馬是一個業餘從事數學研究的學者笛卡爾的《幾何學》共分三卷，第一卷討論尺規作圖；第二卷是曲線的性質；第三卷是立體和“超立體”的作圖，但它實際上是代數問題，探討代數方程的根的性質。後世的數學家和數學史學家都把笛卡爾的《幾何學》作為解析幾何的起點。
從笛卡爾的《幾何學》中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍”的數學，把算術、代數、幾何統一起來。他構想，把任何數學問題化為一個代數問題，在把任何代數問題歸結到去解一個方程式。
為了實現上述的構想，笛卡爾從天文和地理的經緯制度出發，指出平面上的點和實數對（x，y）的對應關係。x，y的不同數值可以確定平面上許多不同的點，這樣就可以用解析的方法研究曲線的性質。這就是解析幾何的基本思想。
具體地說，平面解析幾何的基本思想有兩個要點：第一，在平面建立坐標系，一點的坐標與一組有序的實數對相對應；第二，在平面上建立了坐標系後，平面上的一條曲線就可由帶兩個變數的一個代數方程來表示了。從這裡可以看到，運用坐標法不僅可以把幾何問題通過解析式來得解決，而且還把變數、函式以及數和形等重要概念密切聯繫了起來。
紀念笛卡兒發明解析幾何的郵票
紀念笛卡兒發明解析幾何的郵票解析幾何的產生並不是偶然的。在笛卡爾寫《幾何學》以前，就有許多學者研究過用兩條相交直線作為一種坐標系；也有人在研究天文、地理的時候，提出了一點位置可由兩個“坐標”（經度和緯度）來確定。這些都對解析幾何的創建產生了很大的影響。
費馬研究
費爾馬是一個業餘從事數學研究的學者，對數論、解析幾何、機率論三個方面都有重要貢獻。他性情謙和，好靜成癖，對自己所寫的“書”無意發表。但從他的通信中知道，他早在笛卡爾發表《幾何學》以前，就已寫了關於解析幾何的小文，就已經有了解析幾何的思想。只是直到1679年，費爾馬死後，他的思想和著述才從給友人的通信中公開發表。
笛卡爾的《幾何學》，作為一本解析幾何的書來看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，為開闢數學新園地做出了貢獻。
基本內容
笛卡爾坐標系
在解析幾何中，首先是建立笛卡爾坐標系（又譯為“平面直角坐標系”或“立體直角坐標系”）。如上圖，取定兩條相互垂直的、具有一定方向和度量單位的直線，叫做平面上的一個直角坐標系xOy。利用x軸、y軸可以把平面內的點和一對實數(x,y)建立起一一對應的關係。除了直角坐標系外，還有斜坐標系、極坐標系、空間直角坐標系等等。在空間坐標系中還有球坐標和柱面坐標。
x軸、y軸將幾何對象和數、幾何關係和函式之間建立了密切的聯繫，這樣就可以對空間形式的研究歸結成比較成熟也容易駕馭的數量關係的研究了。用這種方法研究幾何學，通常就叫做解析法。這種解析法不但對於解析幾何是重要的，就是對於幾何學的各個分支的研究也是十分重要的。
學習用品中的圓錐曲線
學習用品中的圓錐曲線新數學概念
解析幾何的創立，引入了一系列新的數學概念，特別是將變數引入數學，使數學進入了一個新的發展時期，這就是變數數學的時期。解析幾何在數學發展中起了推動作用。恩格斯對此曾經作過評價“數學中的轉折點是笛卡爾的變數，有了變數，運動進入了數學；有了變數，辯證法進入了數學；有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了，……”
學科套用
研究對象
如橢圓、雙曲線、拋物線的有些性質，在生產或生活中被廣泛套用。比如電影放映機的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個焦點上，影片門在另一個焦點上；探照燈、聚光燈、太陽灶、雷達天線、衛星天線、射電望遠鏡等都是利用拋物線的原理製成的。
解析幾何
解析幾何總的來說，解析幾何運用坐標法可以解決兩類基本問題：一類是滿足給定條件點的軌跡，通過坐標系建立它的方程；另一類是通過方程的討論，研究方程所表示的曲線性質。
坐標法
坐標法的思想促使人們藉助解析式解決幾何問題。先前被看作幾何學中的難題，一旦運用解析法之後就變得平淡無奇了。坐標法對近代數學的機械化證明也提供了有力的工具。
一道較難的解析幾何問題
一道較難的解析幾何問題圓錐曲線
圓錐曲線：希臘著名學者梅內克繆斯（公元前4世紀）企圖解決當時的著名難題“倍立方問題”（即用直尺和圓規把立方體體積擴大一倍）。他把直角三角形ABC的直角A的平分線AO作為軸。旋轉三角形ABC一周，得到曲面ABECE'，如圖1。用垂直於AC的平面去截此曲面，可得到曲線EDE'，梅內克繆斯稱之為“直角圓錐曲線”。
他想以此在理論上解決“倍立方問題”，但未獲成功。而後，便撤開“倍立方問題”，把圓錐曲線做為專有概念進行研究：若以直角三角形ABC中的長直角邊AC為軸旋轉三角形ABC一周，得到曲面CB'EBE'，如圖2。
用垂直於BC的平面去截此曲面，其切口為一曲線，稱之為“銳角圓錐曲線”；若以直角三角形ABC中的短直角邊AB為軸旋轉三角形ABC一周，可得到曲面BC'ECE'。如圖3。
