基本介紹
簡介,名稱定義,特徵介紹,分支,焦點,準線,離心率,頂點,實軸,虛軸,漸近線,頂點連線斜率,實際套用,面積公式,重點,取值範圍,對稱性,頂點,漸近線,離心率,焦半徑,等軸雙曲線,共軛雙曲線,準線,光學性質,
簡介
在數學中，雙曲線（多重雙曲線或雙曲線）是位於平面中的一種平滑曲線，由其幾何特性或其解決方案組合的方程定義。雙曲線有兩片，稱為連線的組件或分支，它們是彼此的鏡像，類似於兩個無限弓。雙曲線是由平面和雙錐相交形成的三種圓錐截面之一。（其他圓錐部分是拋物線和橢圓，圓是橢圓的特殊情況）如果平面與雙錐的兩半相交，但不通過錐體的頂點，則圓錐曲線是雙曲線。
雙曲線出現在許多方面：
作為在笛卡爾平面中表示函式{\displaystylef（x）=1/x}f（x）=1/x的曲線；
作為日後的陰影的路徑；
作為開放軌道（與閉合的橢圓軌道不同）的形狀，例如在行星的重力輔助擺動期間太空飛行器的軌道，或更一般地，超過最近行星的逃逸速度的任何太空飛行器；
作為一個單一的彗星（一個旅行太快無法回到太陽系）的路徑；
作為亞原子粒子的散射軌跡（以排斥而不是吸引力作用，但原理是相同的）；
在無線電導航中，當距離到兩點之間的距離而不是距離本身可以確定時，等等。
雙曲線的每個分支具有從雙曲線的中心進一步延伸的更直（較低曲率）的兩個臂。對角線對面的手臂，一個從每個分支，傾向於一個共同的線，稱為這兩個臂的漸近線。所以有兩個漸近線，其交點位於雙曲線的對稱中心，這可以被認為是每個分支反射以形成另一個分支的鏡像點。在曲線{\displaystylef（x）=1/x}f（x）=1/x的情況下，漸近線是兩個坐標軸。
雙曲線共享許多橢圓的分析屬性，如偏心度，焦點和方向圖。許多其他數學物體的起源於雙曲線，例如雙曲拋物面（鞍形表面），雙曲面（“垃圾桶”），雙曲線幾何（Lobachevsky的著名的非歐幾里德幾何），雙曲線函式（sinh，cosh，tanh等）和陀螺儀矢量空間（提出用於相對論和量子力學的幾何，不是歐幾里得）。
名稱定義
即：│|PF1|-|PF2│|=2a
定義1：
1、a、b、c不都是零。
2、Δ=b2-4ac>0。
註：第2條可以推出第1條。
在高中的解析幾何中，學到的是雙曲線的中心在原點，圖像關於x，y軸對稱的情形。這時雙曲線的方程退化為：.
標準方程為：
1、焦點在X軸上時為：
2、焦點在Y軸上時為：
特徵介紹
分支
可以從圖像中看出，雙曲線有兩個分支。當焦點在x軸上時，為左軸與右軸；當焦點在y軸上時，為上軸與下軸。
焦點
在定義1中提到的兩個定點稱為該雙曲線的焦點，定義2中提到的一給定點也是雙曲線的焦點。雙曲線有兩個焦點。焦點的橫（縱）坐標滿足c2=a2+b2。
準線
在定義2中提到的給定直線稱為該雙曲線的準線。
離心率
在定義2中提到的到給定點與給定直線的距離之比，稱為該雙曲線的離心率。
離心率
雙曲線有兩個焦點，兩條準線。（注意：儘管定義2中只提到了一個焦點和一條準線，但是給定同側的一個焦點，一條準線以及離心率可以根據定義2同時得到雙曲線的兩支，而兩側的焦點，準線和相同離心率得到的雙曲線是相同的。）
頂點
雙曲線和它的對稱軸有兩個交點，它們叫做雙曲線的頂點。
實軸
兩頂點之間的距離稱為雙曲線的實軸，實軸長的一半稱為實半軸。
虛軸
在標準方程中令x=0，得y2=-b2，該方程無實根，為便於作圖，在y軸上畫出B1（0，b）和B2（0，-b），以B1B2為虛軸。
漸近線
雙曲線有兩條漸近線。漸近線和雙曲線不相交。
一般地我們把直線叫做雙曲線（焦點在X軸上）的漸近線（asymptotetothehyperbola）。
焦點在y軸上的雙曲線的漸近線為
。
頂點連線斜率
雙曲線實際套用
面積公式
若∠F1PF2=θ，
則S△F1PF2=b2×cot或S△F1PF2=
。
例：已知F1、F2為雙曲線C：x2－y2=1的左右焦點，點P在C上，∠F1PF2=60°，則P到x軸的距離為多
少？
解：由雙曲線焦點三角形面積公式得：
S△F1PF2=b2×cot（）=
設P到x軸的距離為h，則S△F1PF2=；h=
參數方程。
重點
取值範圍
│x│≥a（焦點在x軸上）或者│y│≥a（焦點在y軸上）。
對稱性
關於坐標軸和原點對稱，其中關於原點成中心對稱。
頂點
A（-a，0），A'（a，0）。同時AA'叫做雙曲線的實軸且│AA'│=2a。
B（0，-b），B'（0，b）。同時BB'叫做雙曲線的虛軸且│BB'│=2b。
F1（-c，0）或（0，-c），F2（c，0）或（0，c）。F1為雙曲線的左焦點，F2為雙曲線的右焦點且│F1F2│=2c
對實軸、虛軸、焦點有：a2+b2=c2
漸近線
焦點在x軸：
。
焦點在y軸：
.圓錐曲線ρ=ε/1-ecosθ當e>1時，表示雙曲線。其中p為焦點到準線距離，θ為弦與x軸夾角。
令1-ecosθ=0可以求出θ，這個就是漸近線的傾角，即θ=arccos（1/e）
令θ=0，得出ρ=ε/（1-e），x=ρcosθ=ε/（1-e）
令θ=π，得出ρ=ε/（1+e），x=ρcosθ=-ε/（1+e）
這兩個x是雙曲線定點的橫坐標。
求出它們的中點的橫坐標（雙曲線中心橫坐標）
x=[（ε/1-e）+（-ε/1+e）]/2
（注意化簡一下）
直線ρcosθ=[（ε/1-e）+（-ε/1+e）]/2
是雙曲線一條對稱軸，注意是不與曲線相交的對稱軸。
將這條直線順時針旋轉π/2-arccos（1/e）角度後就得到漸近線方程，設旋轉後的角度是θ’
則θ’=θ-[π/2-arccos（1/e）]
則θ=θ’+[π/2-arccos（1/e）]
代入上式：
ρcos{θ’+[π/2-arccos（1/e）]}=[（ε/1-e）+（-ε/1+e）]/2
即：ρsin[arccos（1/e）-θ’]=[（ε/1-e）+（-ε/1+e）]/2
然後可以用θ取代式中的θ’了
得到方程：ρsin[arccos（1/e）-θ]=[（ε/1-e）+（-ε/1+e）]/2
現證明雙曲線x2/a2-y2/b2=1上的點在漸近線中
設M（x，y）是雙曲線在第一象限的點，則
y=（b/a）√（x2-a2）（x>a）
因為x2-a2<x2，所以y=（b/a）√（x2-a2）<b/a√x2=bx/a
即y<bx/a
所以，雙曲線在第一象限內的點都在直線y=bx/a下方。
根據對稱性第二、三、四象限亦如此。
離心率
第一定義：e=c/a且e∈（1，+∞）
第二定義：雙曲線上的一點P到定點F的距離│PF│與點P到定直線（相應準線）的距離d的比等於雙曲線的離心率e。
d點│PF│/d線（點P到定直線（相應準線）的距離）=e
焦半徑
（圓錐曲線上任意一點P（x，y）到焦點距離）
左焦半徑：r=│ex+a│
右焦半徑：r=│ex-a│
等軸雙曲線
一雙曲線的實軸與虛軸長相等即：2a=2b且e=√2
這時漸近線方程為：y=±x（無論焦點在x軸還是y軸）
共軛雙曲線
雙曲線S'的實軸是雙曲線S的虛軸且雙曲線S'的虛軸是雙曲線S的實軸時，稱雙曲線S'與雙曲線S為共軛雙曲線。
幾何表達：S：（x2/a2）-（y2/b2）=1S'：（y2/b2）-（x2/a2）=1
特點：
（1）共漸近線，與漸近線平行得線和雙曲線有且只有一個交點；
（2）焦距相等；
（3）兩雙曲線的離心率平方後的倒數相加等於1。
準線
焦點在x軸上：x=±a2/c
焦點在y軸上：y=±a2/c
弦長公式
d=√（1+k2）|x1-x2|
=√[（1+k2）（x1-x2）2]
=√（1+1/k2）|y1-y2|
=√[（1+1/k2）（y1-y2）2]
推導如下：
由直線的斜率公式：k=（y1-y2）/（x1-x2）
得y1-y2=k（x1-x2）或x1-x2=（y1-y2）/k
分別代入兩點間的距離公式：|AB|=√[（x1-x2）2;+（y1-y2）2;]
稍加整理即得：
|AB|=|x1-x2|√（1+k2;）或|AB|=|y1-y2|√（1+1/k2;）
·雙曲線的標準公式與反比例函式
X2/a2-Y2/b2=1（a>0，b>0）
而反比例函式的標準型是xy=c（c≠0）
但是反比例函式圖象確實是雙曲線軌跡經過旋轉得到的
因為xy=c的對稱軸是y=x，y=-x而X2/a2-Y2/b2=1的對稱軸是x軸，y軸
所以應該旋轉45°
設旋轉的角度為a（a≠0，順時針）
（a為雙曲線漸進線的傾斜角）
則有：
X=xcosa+ysina
Y=-xsina+ycosa
取a=π/4
則：
X2-Y2=（xcos（π/4）+ysin（π/4））2-（xsin（π/4）-ycos（π/4））2
=（√2/2x+√2/2y）2-（√2/2x-√2/2y）2
=4（√2/2x）（√2/2y）
=2xy
而xy=c
所以：
X2/（2c）-Y2/（2c）=1（c>0）
Y2/（-2c）-X2/（-2c）=1（c<0）
由此證得，反比例函式其實就是雙曲線的一種形式，只不過是雙曲線在平面直角坐標系內的另一種擺放形式。
雙曲線內、上、外
在雙曲線的兩側的區域稱為雙曲線內，則有x2/a2-y2/b2>1；
在雙曲線的線上稱為雙曲線上，則有x2/a2-y2/b2=1；在雙曲線所夾的區域稱為雙曲線外，則有x2/a2-y2/b2<1。
光學性質
從雙曲線一個焦點發出的光，經過雙曲線反射後，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上。雙曲線這種反向虛聚焦性質，在天文望遠鏡的設計等方面，也能找到實際套用。
雙曲線的光學性質
雙曲線的光學性質