基本介紹
- 中文名：二元二次方程
- 表達式：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0
- 套用學科：數學
- 求解：“降次”、“消元”，因式分解法
簡介,方程求解,示例,
簡介
二元二次方程由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組，一般用代入法求解，即將方程組中的二元一次方程用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數，然後代入二元二次方程中，從而化“二元”為“一元”，如此便得到一個一元二次方程。此時，方程組解的情況由此一元二次方程根的情況確定。比如，當時，由於一元二次方程有兩個相等的實根，則此方程組有相同的兩組實數解……諸如此類。
二元二次方程的套用
二元二次方程的套用方程求解
二元二次方程組求解的基本思想是“轉化”，即通過“降次”、“消元”，將方程組轉化為一元二次方程或二元一次方程組。由於這類方程組形式龐雜，解題方法靈活多樣，具有較強的技巧性，因而在解這類方程組時，要認真分析題中各個方程的結構特徵，選擇較恰當的方法。
（1）有兩組相等的實數解。
（2）有兩組不相等的實數解；
（3）沒有實數解。解：將②代入①，整理得二次方程③的判別式
（4）當a<2時，方程③有兩個不相等的實數根，則原方程有不同的兩組實數解。
（5）當a=2時，方程③有兩個相等的實數根，則原方程有相同的兩組實數解。
（6）當a>2時，方程③沒有實數根，因而原方程沒有實數解。
"代入消元法”和“加減消元法”解方程組.
代入消元法 （1）概念：將方程組中一個方程的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來,代入另一個方程中,消去一個未知數,得到一個一元一次方程,最後求得方程組的解.這種解方程組的方法叫做代入消元法,簡稱代入法.
（2）代入法解二元一次方程組的步驟
①選取一個係數較簡單的二元一次方程變形,用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數；
②將變形後的方程代入另一個方程中,消去一個未知數,得到一個一元一次方程（在代入時,要注意不能代入原方程,只能代入另一個沒有變形的方程中,以達到消元的目的.）；
③解這個一元一次方程,求出未知數的值；
④將求得的未知數的值代入①中變形後的方程中,求出另一個未知數的值；
⑤用“{”聯立兩個未知數的值,就是方程組的解；
⑥最後檢驗求得的結果是否正確（代入原方程組中進行檢驗,方程是否滿足左邊=右邊）.
例題：
{x-y=3 ①
{3x-8y=4②
由①得x=y+3③
③代入②得
3（y+3)-8y=4
y=1
所以x=4
則：這個二元一次方程組的解
{x=4
{y=4.加減消元法 （1）概念：當方程中兩個方程的某一未知數的係數相等或互為相反數時,把這兩個方程的兩邊相加或相減來消去這個未知數,從而將二元一次方程化為一元一次方程,最後求得方程組的解,這種解方程組的方法叫做加減消元法,簡稱加減法.
（2）加減法解二元一次方程組的步驟
①利用等式的基本性質,將原方程組中某個未知數的係數化成相等或相反數的形式；
②再利用等式的基本性質將變形後的兩個方程相加或相減,消去一個未知數,得到一個一元一次方程（一定要將方程的兩邊都乘以同一個數,切忌只乘以一邊,然後若未知數係數相等則用減法,若未知數係數互為相反數,則用加法）；
③解這個一元一次方程,求出未知數的值；
④將求得的未知數的值代入原方程組中的任何一個方程中,求出另一個未知數的值；
⑤用“{”聯立兩個未知數的值,就是方程組的解；
⑥最後檢驗求得的結果是否正確（代入原方程組中進行檢驗,方程是否滿足左邊=右邊）.
如：
{5x+3y=9①
{10x+5y=12②
把①擴大2倍得到③
{10x+6y=18
③-②得：
10x+6y-(10x+5y)=18-12
y=6
再把y=帶入①.②或③中
解之得:{x=-9/5
{y=6
代入消元法 （1）概念：將方程組中一個方程的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來,代入另一個方程中,消去一個未知數,得到一個一元一次方程,最後求得方程組的解.這種解方程組的方法叫做代入消元法,簡稱代入法.
（2）代入法解二元一次方程組的步驟
①選取一個係數較簡單的二元一次方程變形,用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數；
②將變形後的方程代入另一個方程中,消去一個未知數,得到一個一元一次方程（在代入時,要注意不能代入原方程,只能代入另一個沒有變形的方程中,以達到消元的目的.）；
③解這個一元一次方程,求出未知數的值；
④將求得的未知數的值代入①中變形後的方程中,求出另一個未知數的值；
⑤用“{”聯立兩個未知數的值,就是方程組的解；
⑥最後檢驗求得的結果是否正確（代入原方程組中進行檢驗,方程是否滿足左邊=右邊）.
例題：
{x-y=3 ①
{3x-8y=4②
由①得x=y+3③
③代入②得
3（y+3)-8y=4
y=1
所以x=4
則：這個二元一次方程組的解
{x=4
{y=4.加減消元法 （1）概念：當方程中兩個方程的某一未知數的係數相等或互為相反數時,把這兩個方程的兩邊相加或相減來消去這個未知數,從而將二元一次方程化為一元一次方程,最後求得方程組的解,這種解方程組的方法叫做加減消元法,簡稱加減法.
（2）加減法解二元一次方程組的步驟
①利用等式的基本性質,將原方程組中某個未知數的係數化成相等或相反數的形式；
②再利用等式的基本性質將變形後的兩個方程相加或相減,消去一個未知數,得到一個一元一次方程（一定要將方程的兩邊都乘以同一個數,切忌只乘以一邊,然後若未知數係數相等則用減法,若未知數係數互為相反數,則用加法）；
③解這個一元一次方程,求出未知數的值；
④將求得的未知數的值代入原方程組中的任何一個方程中,求出另一個未知數的值；
⑤用“{”聯立兩個未知數的值,就是方程組的解；
⑥最後檢驗求得的結果是否正確（代入原方程組中進行檢驗,方程是否滿足左邊=右邊）.
如：
{5x+3y=9①
{10x+5y=12②
把①擴大2倍得到③
{10x+6y=18
③-②得：
10x+6y-(10x+5y)=18-12
y=6
再把y=帶入①.②或③中
解之得:{x=-9/5
{y=6
示例
解:2x+y^2+3xy+6x+2y+12=0…①,
且x^2+4y^2+4xy+x+y+15=0…②.
提示:解方程的基本思想是消元與降次。僅僅就其消元而言，任給的①,②都難以直接用一個變數表示另一個變數(即用關於x的代數式表示y,或y的代數式用表示x)，其癥結在於二元二次項3xy,4xy，因此，首先需消去二元二次項。②*3-①*4，得到一個新的方程。再運用配方法分別將其x,y配方為如下形式:a(x+i)^2+b(y+j)^2+c=0,就可實現了用一個變數表示另一個變數，但其涉及到開方，且變為無理方程作解，比較複雜。就其降次而言，可運用因式分解法(包括十字相乘法的推廣:雙十字相乘法)，難度較大。也可以運用函式的解析法。在此，僅作點撥。總的而言，一般有三種普遍的方法:代數方程解法，因式分解法，運用函式。
