絕對值

絕對值是指一個數在數軸上所對應點到原點的距離，用“| |”來表示。|b-a|或|a-b|表示數軸上表示a的點和表示b的點的距離。

在數學中，絕對值或模數| x | 的非負值，而不考慮其符號，即| x | = x表示正x，| x | = -x表示負x（在這種情況下-x為正），| 0 | = 0。例如，3的絕對值為3，-3的絕對值也為3。數字的絕對值可以被認為是與零的距離。

實數的絕對值的泛化發生在各種各樣的數學設定中，例如複數、四元數、有序環、欄位和向量空間定義絕對值。絕對值與各種數學和物理環境中的大小，距離和範數的概念密切相關。

基本介紹

• 中文名：絕對值
• 外文名：absolute value
• 別稱：無
• 表達式：| a |
• 提出者：外爾斯特拉斯
• 提出時間：1841年
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：數學
• 適用領域範圍：函式
• 符號：|  |
• 學習時間：高中一年級 國中一年級
• 關聯：數軸

意義

幾何意義

在數軸上，一個數到原點的距離叫做該數的絕對值。表示數軸上表示a的點和表示b的點的距離。

套用：|5|指在數軸上5與原點的距離，這個距離是5，所以5的絕對值是5。同樣，指在數軸上表示-5與原點的距離，這個距離是5，所以-5的絕對值也是5。指數軸上-3和-2點的距離，這個式子值是1。同樣也表示3和2點的距離。

絕對值

絕對值

代數意義

非負數（正數和0）的絕對值是它本身，非正數（負數）的絕對值是它的相反數。

實數a的絕對值永遠是非負數，即。互為相反數的兩個數的絕對值相等，即（因為在數軸上它們到原點的距離相等）。

若a為正數，則滿足的x有兩個值±a，如，則。

套用舉例

正數的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值還是0。特殊的零的絕對值既是它的本身又是它的相反數，寫作。

任何有理數的絕對值都是非負數，也就是說任何有理數的絕對值都大於等於0。

任何純虛數的絕對值是就是虛部的絕對值（如：）。

當a≥0時，；

當a<0時，；
存在。

兩個負數比較大小，絕對值大的反而小。

一對相反數的絕對值相等。

計算機語言

計算機語言中，正數的二進制首位（即符號位）為0，負數的二進制首位為1。
32位系統下，4位元組數，求絕對值的函式為abs(x)。

無論是絕對值的代數意義還是幾何意義，都揭示了絕對值的以下有關性質：

（1）任何有理數的絕對值都是大於或等於0的數，這是絕對值的非負性。
（2）絕對值等於0的數只有一個，就是0。
（3）絕對值等於同一個正數的數有兩種，這兩個數互為相反數或相等。
（4）互為相反數的兩個數的絕對值相等。

（5）正數的絕對值是它本身。

（6）負數的絕對值是它的相反數。

（7）0的絕對值是0。
絕對值等式、不等式：
（1）若，則

（2）
（3）
（4）
這個性質一般用在含絕對值的一元二次方程中。
（5）
由此可以得出推論，因為

絕對值不等式

（1）解絕對值不等式必須設法化去式中的絕對值符號，轉化為一般代數式類型來解；
（2）證明絕對值不等式主要有兩種方法：
A）去掉絕對值符號轉化為一般的不等式證明：換元法、討論法、平方法；
B）利用不等式：，用這個方法要對絕對值內的式子進行分拆組合、添項減項、使要證的式子與已知的式子聯繫起來。

無符號數計算

如果把三個女性記為-3，把四個男性記為+4，問有幾個人，計算方法是兩個數的絕對值相加，也就是7個人。如果問男女差是多少，計算方法是相對數相加，是+1。

如果把向南走1公里記為+1，把向北走2公里記為-2，問走了多少公里，計算方法是兩個數的絕對值相加，也就是3公里。如果問相對走了多少公里，計算方法是相對數相加，是-1。

如果把向零上的10度記為+10，把零下5度記為-5，上下差多少度，計算方法是兩個數的絕對值相加，也就是15度。如果問溫的和是多少度，計算方法就是相對數相加，是+5。

如果題中沒有說什麼是正，如：郵遞員送信先向南10米，再向北5米，做題前必須寫：記什麼為正，一般不用寫另一個，因為不是正就是負，知道一個就行了。

所以對於絕對值的概念也是有爭議的。有人並不認為絕對值就一定是正數。這說明數學也是在不斷發展之中的。而我們的見到的數學只是歷史的過程中的一個階段之一，沒有影響到正常的學習。

求兩個數的最大值

利用絕對值可以求兩個數中的最大值，公式如下：