絕對值

絕對值

絕對值是指一個數在數軸上所對應點到原點的距離,用“| |”來表示。|b-a|或|a-b|表示數軸上表示a的點和表示b的點的距離。

在數學中,絕對值或模數| x | 的非負值,而不考慮其符號,即| x | = x表示正x,| x | = -x表示負x(在這種情況下-x為正),| 0 | = 0。例如,3的絕對值為3,-3的絕對值也為3。數字的絕對值可以被認為是與零的距離。

實數的絕對值的泛化發生在各種各樣的數學設定中,例如複數、四元數、有序環、欄位和向量空間定義絕對值。絕對值與各種數學和物理環境中的大小,距離和範數的概念密切相關。

基本介紹

  • 中文名:絕對值
  • 外文名:absolute value
  • 別稱:無
  • 表達式:| a |
  • 提出者外爾斯特拉斯
  • 提出時間:1841年
  • 套用學科:數學
  • 適用領域範圍:數學
  • 適用領域範圍:函式
  • 符號:|  |
  • 學習時間:高中一年級 國中一年級
  • 關聯:數軸
意義,幾何意義,代數意義,套用舉例,計算機語言,絕對值不等式,無符號數計算,求兩個數的最大值,

意義

幾何意義

數軸上,一個數到原點的距離叫做該數的絕對值。
表示數軸上表示a的點和表示b的點的距離。
套用:|5|指在數軸上5與原點的距離,這個距離是5,所以5的絕對值是5。同樣,
指在數軸上表示-5與原點的距離,這個距離是5,所以-5的絕對值也是5。
指數軸上-3和-2點的距離,這個式子值是1。同樣
也表示3和2點的距離。
絕對值絕對值
絕對值絕對值

代數意義

非負數(正數和0)的絕對值是它本身,非正數負數)的絕對值是它的相反數
實數a的絕對值永遠是非負數,即
。互為相反數的兩個數的絕對值相等,即
(因為在數軸上它們到原點的距離相等)。
若a為正數,則滿足
的x有兩個值±a,如
,則

套用舉例

正數的絕對值是它本身;負數的絕對值是它的相反數;0的絕對值還是0。特殊的零的絕對值既是它的本身又是它的相反數,寫作
任何有理數的絕對值都是非負數,也就是說任何有理數的絕對值都大於等於0。
任何純虛數的絕對值是就是虛部的絕對值(如:
)。
當a≥0時,
當a<0時,

存在
兩個負數比較大小,絕對值大的反而小。
一對相反數的絕對值相等。

計算機語言

計算機語言中,正數的二進制首位(即符號位)為0,負數的二進制首位為1。
32位系統下,4位元組數,求絕對值的函式為abs(x)。
無論是絕對值的代數意義還是幾何意義,都揭示了絕對值的以下有關性質:
(1)任何有理數的絕對值都是大於或等於0的數,這是絕對值的非負性。
(2)絕對值等於0的數只有一個,就是0。
(3)絕對值等於同一個正數的數有兩種,這兩個數互為相反數或相等。
(4)互為相反數的兩個數的絕對值相等。
(5)正數的絕對值是它本身。
(6)負數的絕對值是它的相反數。
(7)0的絕對值是0。
絕對值等式、不等式:
(1)若
,則
(2)

(3)

(4)

這個性質一般用在含絕對值的一元二次方程中。
(5)

由此可以得出推論
,因為

絕對值不等式

(1)解絕對值不等式必須設法化去式中的絕對值符號,轉化為一般代數式類型來解;
(2)證明絕對值不等式主要有兩種方法:
A)去掉絕對值符號轉化為一般的不等式證明:換元法討論法、平方法;
B)利用不等式:
,用這個方法要對絕對值內的式子進行分拆組合、添項減項、使要證的式子與已知的式子聯繫起來。

無符號數計算

如果把三個女性記為-3,把四個男性記為+4,問有幾個人,計算方法是兩個數的絕對值相加,也就是7個人。如果問男女差是多少,計算方法是相對數相加,是+1。
如果把向南走1公里記為+1,把向北走2公里記為-2,問走了多少公里,計算方法是兩個數的絕對值相加,也就是3公里。如果問相對走了多少公里,計算方法是相對數相加,是-1。
如果把向零上的10度記為+10,把零下5度記為-5,上下差多少度,計算方法是兩個數的絕對值相加,也就是15度。如果問溫的和是多少度,計算方法就是相對數相加,是+5。
如果題中沒有說什麼是正,如:郵遞員送信先向南10米,再向北5米,做題前必須寫:記什麼為正,一般不用寫另一個,因為不是正就是負,知道一個就行了。
所以對於絕對值的概念也是有爭議的。有人並不認為絕對值就一定是正數。這說明數學也是在不斷發展之中的。而我們的見到的數學只是歷史的過程中的一個階段之一,沒有影響到正常的學習。

求兩個數的最大值

利用絕對值可以求兩個數中的最大值,公式如下:

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