漸近線(曲線的漸近線)

漸近線是指：曲線上一點M沿曲線無限遠離原點或無限接近間斷點時，如果M到一條直線的距離無限趨近於零，那么這條直線稱為這條曲線的漸近線。可分為鉛直漸近線、水平漸近線和斜漸近線。

基本介紹

• 中文名：漸近線
• 外文名：Asymptotic line
• 原點：曲線無限遠離原點時，
• 零：直線的距離無限趨近於零
• 套用學科：數學

定義

當曲線上一點M沿曲線無限遠離原點或無限接近間斷點時，如果M到一條直線的距離無限趨近於零，那么這條直線稱為這條曲線的漸近線。

數學上的定義則是：若函式 的圖形收斂，則漸近線為 。

特點

漸近線分為垂直漸近線、水平漸近線和斜漸近線。

需要注意的是：並不是所有曲線都有漸近線，漸近線反映了某些曲線在無限延伸時的變化情況。

分類

根據漸近線的位置，可將漸近線分為三類：水平漸近線、鉛直漸近線、斜漸近線。

對於拋物線來說，如果當 時， ( 或 )，而且 一般為間斷點，就把 叫做的鉛直漸近線；

如果當 時， ，就把 叫做的水平漸近線。例如，y = 3是曲線y = + 3的水平漸近線；

如果當時，，其中a和b為常數，那么 就是 的一條斜漸近線。

求法

求漸近線，可以依據以下結論：

雙曲線兩漸近線夾角一半的餘弦等於a/c且2c為兩焦點的距離，2a為軌跡上的點到焦點的距離差。

若極限存在，且極限lim[f(x)－ax,x→∞]=b也存在，那么曲線y=f(x)具有漸近線y=ax+b。

例：求漸近線。

解：(1)x = - 1為其垂直漸近線。

(2)，即a = 1；

，即b = - 1；

所以y = x - 1也是其漸近線。

示例

例如，直線 是雙曲線 的漸近線，因為雙曲線上的點M到直線的距離MQ<MN；當MN無限趨近於0時，MQ也無限趨近於0。所以按照定義，直線是該雙曲線的漸近線。同理，雙曲線也是該直線的漸近線。

相關結論

1.與x^2/a^2-y^2/b^2=1漸近線相同的雙曲線的方程，有無數條（且焦點可能在x軸或y軸上）；

2.與x^2/a^2-y^2/b^2=1漸近線相同的雙曲線可設為x^2/a^2-y^2/b^2=N，進行求解；

3.x^2/a^2-y^2/b^2=1的漸近線方程為 b/a*x=y；

4.y^2/a^2-x^2/b^2=1的漸近線方程為 a/b*x=y。