漸屈線

漸屈線是曲線微分幾何中的概念，它是曲線上密切圓圓心的軌跡。等價的描述是一條曲線的漸屈線即是其法線的包絡。

漸屈線與漸伸線是一對相對的概念，若曲線A是曲線B的漸屈線，曲線B即為曲線A的漸伸線。每條曲線的漸屈線唯一確定，但卻可以有無窮多條漸伸線。

基本介紹

• 中文名：漸屈線
• 外文名：Evolute
• 領域：數學
• 適用領域：微分幾何

曲線的微分幾何

概述

曲線的微分幾何是幾何學的一個分支，使用微分與積分專門研究平面與歐幾里得空間中的光滑曲線。

從古代開始，許多具體曲線已經用綜合方法深入研究。微分幾何採取另外一種方式：把曲線表示為參數形式，將它們的幾何性質和各種量，比如曲率和弧長，用向量分析表示為導數和積分。分析曲線最重要的工具之一為Frenet 標架，是一個活動標架，在曲線每一點附近給出“最合適”的坐標系。

曲線的理論比曲面理論及其高維推廣的範圍要狹窄得多，也簡單得多。因為歐幾里得空間中的正則曲線沒有內蘊幾何。任何正則曲線可以用弧長（“自然參數”）參數化，從曲線上來看不能知道周圍空間的任何信息，所有曲線都是一樣的。不同空間曲線只是由它們的彎曲和扭曲程度區分。數量上，這由微分幾何不變數曲線的“曲率”和“撓率”來衡量。曲線基本定理斷言這些不變數的信息完全確定了曲線。

定義

設 是一個正整數， 是正整數或 ， 是實數非空區間， 屬於 。一個 類（即 為 次連續可微）向量值函式

稱為一條 類參數曲線或曲線 的一個 參數化， 稱為曲線 的參數， 稱為曲線的像。將曲線 和曲線的像 區別開來非常重要，曲線是一個映射，而像是一個集合。一個給定的像可以描述為許多不同的 曲線。

可以想像參數 代表時間，而曲線 作為空間中一個運動粒子軌跡。

如果I是閉區間 [a,b]，我們稱 γ(a) 為曲線 γ 的起點而 γ(b) 為終點。

如果 ，我們說 γ 是閉的或是一個環路。進一步，我們稱 γ 是一條閉 C-曲線，如果 γ(a) = γ(b) 對所有k≤r。

如果 為單射，我們稱為簡單曲線。

如果參數曲線 局部可寫成冪級數，我們稱曲線解析或是 類。記號 - 表示朝相反的方向運動的曲線。

一條 -曲線

稱為 階正則若且唯若對任何 屬於 ：

在 中線性無關。

特別地，一條 -曲線 是正則的如果 對任何

法線

三維平面的法線是垂直於該平面的三維向量。曲面在某點P處的法線為垂直於該點切平面（tangent plane）的向量。

法線是與多邊形（polygon）的曲面垂直的理論線，一個平面（plane）存在無限個法向量（normal vector）。在電腦圖學（computer graphics）的領域裡，法線決定著曲面與光源（light source）的濃淡處理（Flat Shading），對於每個點光源位置，其亮度取決於曲面法線的方向。

法線的計算

對於像三角形這樣的多邊形來說，多邊形兩條相互不平行的邊的叉積就是多邊形的法線。

用方程 表示的平面，向量 就是其法線。

如果S是曲線坐標x(s,t)表示的曲面，其中s及t是實數變數，那么用偏導數叉積表示的法線為

如果曲面S用隱函式表示，點集合 滿足 ，那么在點 處的曲面法線用梯度表示為

如果曲面在某點沒有切平面，那么在該點就沒有法線。例如，圓錐的頂點以及底面的邊線處都沒有法線，但是圓錐的法線是幾乎處處存在的。通常一個滿足Lipschitz連續的曲面可以認為法線幾乎處處存在。

法線的唯一性

曲面法線的法向不具有唯一性（uniqueness），在相反方向的法線也是曲面法線。曲面在三維的邊界（topological boundary）內可以分區出inward-pointing normal 與 outer-pointing normal, 有助於定義出法線唯一方法（unique way）。定向曲面的法線通常按照右手定則來確定。

包絡線

在幾何學，某個曲線族的包絡線（Envelope），是跟該曲線族的每條線都有至少一點相切的一條曲線。（曲線族即一些曲線的無窮集，它們有一些特定的關係。）

設一個曲線族的每條曲線 可表示為 ，其中 是曲線族的參數， 是特定曲線的參數。若包絡線存在，它是由 得出，其中 以以下的方程求得：

若曲線族以隱函式形式 表示，其包絡線的隱方程，便是以下面兩個方程消去 得出。

繡曲線是包絡線的例子。直線族 （其中 是常數， 是直線族的變數）的包絡線為拋物線。

漸伸線

概述

漸伸線（involute）(或稱漸開線(evolent))和漸屈線（evolute）是曲線的微分幾何上互為表里的概念。若曲線A是曲線B的漸伸線，曲線B是曲線A的漸屈線。

在曲線上選一定點S。有一動點P由S出發沿曲線移動，選在P的切線上的Q，使得曲線長SP和直線段長PQ相同。漸伸線就是Q的軌跡。

若曲線B有參數方程，其中 ，曲線A的方程為 。

曲線的漸屈線是該曲線每點的曲率中心的集。

若該曲線有參數方程 （ ），則其漸屈線為

每條曲線可有無窮多條漸伸線，但只有一條漸屈線。

參數化曲線

漸開線方程曲線的參數化定義的函式( x(t) , y(t) )是：