三角形是由同一平面內不在同一直線上的三條線段‘首尾’順次連線所組成的封閉圖形，在數學、建築學有套用。
常見的三角形按邊分有普通三角形（三條邊都不相等），等腰三角（腰與底不等的等腰三角形、腰與底相等的等腰三角形即等邊三角形）；按角分有直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等，其中銳角三角形和鈍角三角形統稱斜三角形。
基本介紹
- 中文名：三角形
- 外文名：ZiMintion；triangle
- 學科：數學
- 包括：銳角、鈍角、直角
- 分類方法：邊、角
- 定義：三條線段首尾順次連線的圖形
基本定義,分類,按角分,判斷方法,按邊分,周長公式,面積公式,四線,中線,高,角平分線,中位線,性質,邊角關係,全等三角形,定義,特點,判定,相似三角形,定義,特點,判定,特殊點、線,五心的距離,證明,作用,
基本定義
由不在同一直線上的三條線段首尾順次連線所組成的封閉圖形叫作三角形。平面上三條直線或球面上三條弧線所圍成的圖形，三條直線所圍成的圖形叫平面三角形；三條弧線所圍成的圖形叫球面三角形，也叫三邊形。
由三條線段首尾順次相連，得到的封閉幾何圖形叫作三角形。三角形是幾何圖案的基本圖形。
分類
按角分
判定法一：
1、銳角三角形：三角形的三個內角都小於90度。
2、直角三角形：三角形的三個內角中一個角等於90度，可記作Rt△。
3、鈍角三角形：三角形的三個內角中有一個角大於90度。
判定法二：
1、銳角三角形：三角形的三個內角中最大角小於90度。
2、直角三角形：三角形的三個內角中最大角等於90度。
3、鈍角三角形：三角形的三個內角中最大角大於90度，小於180度。
其中銳角三角形和鈍角三角形統稱為斜三角形。
判斷方法
由餘弦定理延伸而來。
若一個三角形的三邊a，b，c （
） 滿足：
1、
，則這個三角形是銳角三角形；
2、
，則這個三角形是直角三角形；
3、
，則這個三角形是鈍角三角形。
按邊分
1、不等邊三角形；不等邊三角形，數學定義，指的是三條邊都不相等的三角形叫不等邊三角形。
2、等腰三角形；等腰三角形（isosceles triangle），指兩邊相等的三角形，相等的兩個邊稱為這個三角形的腰。等腰三角形中，相等的兩條邊稱為這個三角形的腰，另一邊叫做底邊。兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。等腰三角形的兩個底角度數相等（簡寫成“等邊對等角”）。等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高重合（簡寫成“等腰三角形的三線合一性質”）。等腰三角形的兩底角的平分線相等（兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等）。等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等於頂角的一半。等腰三角形底邊上任意一點到兩腰距離之和等於一腰上的高（需用等面積法證明）。等腰三角形是軸對稱圖形，（不是等邊三角形的情況下）只有一條對稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸，等邊三角形有三條對稱軸。等腰三角形中腰的平方等於高的平方加底的一半的平方。等腰三角形的腰與它的高的關係，直接的關係是：腰大於高。間接的關係是：腰的平方等於高的平方加底的一半的平方。
周長公式
若一個三角形的三邊分別為a、b、c，則
。
面積公式
1、
（面積=底×高÷2。其中，a是三角形的底，h是底所對應的高）注釋：三邊均可為底，應理解為：三邊與之對應的高的積的一半是三角形的面積。這是面積法求線段長度的基礎。
2、
（其中，三個角為∠A，∠B，∠C，對邊分別為a，b，c。參見三角函式）
3、
(l為高所在邊中位線）
5、秦九韶公式（與海倫公式等價）
6、
（其中，R是外接圓半徑）
7、
（其中，r是內切圓半徑,p是半周長）
8、在平面直角坐標系內，A（a，b），B（c，d），C（e，f）構成之三角形面積為
。A，B，C三點最好按逆時針順序從右上角開始取，因為這樣取得出的結果一般都為正值，如果不按這個規則取，可能會得到負值，但只要取絕對值就可以了，不會影響三角形面積的大小。
9、
（正三角形面積公式，a是三角形的邊長）
11、
12、設三角形三邊為AC,BC,AB,點D垂直於AB，為三角形ABC的高由於DB=BC*cosB, cosB可用餘弦定理式表示。
三角形利用餘弦定理求得：再利用勾股定理求得CD再用面積=底×高÷2，最終得出面積公式。
四線
中線
連線三角形的一個頂點及其對邊中點的線段叫做三角形的中線（median）。
高
從一個頂點向它的對邊所在的直線畫垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高（altitude）。
角平分線
三角形一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線（bisector of angle）。
中位線
三角形的三邊中任意兩邊中點的連線叫中位線。它平行於第三邊且等於第三邊的一半。
性質
1 、在平面上三角形的內角和等於180°（內角和定理）。
2 、在平面上三角形的外角和等於360° (外角和定理)。
3、 在平面上三角形的外角等於與其不相鄰的兩個內角之和。
推論：三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。
4、 一個三角形的三個內角中最少有兩個銳角。
5、 在三角形中至少有一個角大於等於60度，也至少有一個角小於等於60度。
6 、三角形任意兩邊之和大於第三邊，任意兩邊之差小於第三邊。
7、 在一個直角三角形中，若一個角等於30度，則30度角所對的直角邊是斜邊的一半。
8、直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方（勾股定理）。
*勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2 ，那么這個三角形是直角三角形。
9、直角三角形斜邊的中線等於斜邊的一半。
10、三角形的三條角平分線交於一點，三條高線的所在直線交於一點，三條中線交於一點。
11、三角形三條中線的長度的平方和等於它的三邊的長度平方和的3/4。
12、 等底同高的三角形面積相等。
1、3 底相等的三角形的面積之比等於其高之比，高相等的三角形的面積之比等於其底之比。
14、三角形的任意一條中線將這個三角形分為兩個面積相等的三角形。
15、等腰三角形頂角的角平分線和底邊上的高、底邊上的中線在一條直線上（三線合一）。
16、 在同一個三角形內，大邊對大角，大角對大邊。
在三角形中
,其中角α,β,γ分別對著邊a,b,c。
17、 在斜△ABC中恆滿足：
。
18、△ABC中恆有
。
19、三角形具有穩定性。
邊角關係
全等三角形
定義
兩個能夠完全重合的三角形稱為全等三角形。
特點
判定
1、兩個三角形對應的三條邊相等，兩個三角形全等，簡稱“邊邊邊”或“SSS"；
2、兩個三角形對應的兩邊及其夾角相等，兩個三角形全等，簡稱“邊角邊”或“SAS”；
3、兩個三角形對應的兩角及其夾邊相等，兩個三角形全等，簡稱“角邊角”或“ASA”；
4、兩個三角形對應的兩角及其一角的對邊相等，兩個三角形全等，簡稱“角角邊”或“AAS”；
5、兩個直角三角形對應的一條斜邊和一條直角邊相等，兩個直角三角形全等，簡稱“斜邊、直角邊”或“HL”；
註：“邊邊角”即“SSA”和“角角角”即："AAA"是錯誤的證明方法。
相似三角形
定義
對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。
特點
1、相似三角形對應邊成比例，對應角相等。
2、相似三角形對應邊的比叫做相似比。
3、相似三角形的周長比等於相似比，面積比等於相似比的平方。
判定
1、如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似（簡稱：三邊對應成比例的兩個三角形相似）。
2、如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，並且夾角相等，那么這兩個三角形相似（簡稱：兩邊對應成比例且其夾角相等的兩三角形相似）。
3、如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似（簡稱：兩角對應相等的兩三角形相似）。
4、如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個三角形相似。
特殊點、線
五心、四圓、三點、一線：這些是三角形的全部特殊點，以及基於這些特殊點的相關幾何圖形。“五心”指重心、垂心、內心、外心和旁心；“四圓”為內切圓、外接圓、旁切圓和歐拉圓；“三點”是勒莫恩點、奈格爾點和歐拉點；“一線”即歐拉線。
五心的距離
- OH2=9R2–(a2+b2+c2)。
- OG2=R2–(a2+b2+c2)/9。
- OI2=R2–abc/(a+b+c)=R2 – 2Rr。
- GH2=4OG2。
- GI2=(p2+5r2–16Rr)/9。
- HI2=4R2-p2+3r2+4Rr=4R2+2r2-(a2+b2+c2)/2。
證明
任取三角形兩條邊，則兩條邊的非公共端點被第三條邊連線。
∴第三條邊不可伸縮或彎折
∴兩端點距離固定
∴這兩條邊的夾角固定
∵這兩條邊是任取的
∴三角形三個角都固定，進而將三角形固定
∴三角形有穩定性
任取n邊形（n≥4）兩條相鄰邊，則兩條邊的非公共端點被不止一條邊連線
∴兩端點距離不固定
∴這兩邊夾角不固定
∴n邊形（n≥4）每個角都不固定
∴n邊形（n≥4）沒有穩定性
證畢。
作用
三角形的穩定性使其不像四邊形那樣易於變形，有著穩定、堅固、耐壓的特點。三角形的結構在工程上有
有關定理
- 三邊關係定理
- 正割定理
- 餘割定理
- 旁心定理
- 費爾巴哈定理
- 拿破崙定理
