中線定理又稱阿波羅尼奧斯定理，是一種歐氏幾何的定理，指三角形三邊和中線長度關係，在三角形中，連線一個頂點和它所對邊的中點的線段叫做三角形的中線。
基本介紹
- 中文名：三角形中線定理
- 外文名：Apollonius's theorem
- 別稱：阿波羅尼奧斯定理
- 表達式：AB2+AC2=2(BI2+AI2)
- 提出者：阿波羅尼奧斯
- 套用學科：數學幾何
- 適用領域範圍：三角
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中線定義
任何三角形都有三條中線，而且這三條中線都在三角形的內部，並交於一點
由定義可知，三角形的中線是一條線段。
由於三角形有三條邊，所以一個三角形有三條中線。
且三條中線交於一點。這點稱為三角形的重心。
每條三角形中線分得的兩個三角形面積相等。
性質
設⊿ABC的角A、B、C的對邊分別為a、b、c．
1、三角形的三條中線都在三角形內。
2、三角形的三條中線長：
................______________
ma=(1/2)√2b2+2c2-a2 ；
................______________
mb=(1/2)√2c2+2a2-b2 ；
................______________
mc=(1/2)√2a2+2b2-c2 。
(ma,mb,mc分別為角A,B,C所對的中線長）
3、三角形的三條中線交於一點，該點叫做三角形的重心。
5.三角形中線組成的三角形面積等於這個三角形面積的3/4.
中線定理
定理內容：三角形一條中線兩側所對邊平方和等於底邊的一半平方與該邊中線平方和的2倍。
AB2+AC2=2(BI2+AI2)
或作AB2+AC2=1/2（BC）2+2AI2
證明：勾股定理
AB2+AC2=(AH2+BH2)+(AH2+HC2)
=2(AI2-HI2)+(BI-HI)2+(CI+HI)2
=2AI2-2HI2+BI2+HI2-2BIHI+CI2+HI2+2CLHI
=2AI2+BI2+CI2
=2(BI2+AI2)
定理證明
除圖示給出的方法外，c1c2clone在此給出另外的兩種常規證明方法：
第一種是以中點為原點，在水平和豎直方向建立坐標系，
設：A(m,n),B(-a,0),C(a,0)，
則：(AD)2+(CD)2=m2+n2+a2
(AB)2+(AC)2=(m+a)2+n2+(m-a)2+n2=2(m2+a2+n2)
∴(AB)2+(AC)2=2[(AD)2+(CD)2]
第二種是在不同三角形中，對同一個角用兩次餘弦定理，比如對圖示中的∠B（或者∠C）在△ABD和△ABC（或者△ACD和△ABC）使用餘弦定理，從而直接得到三角形邊長的關係，進而得證。
推論
在以上討論中，還可以得到 |AB2-AC2|=2BC×IH
