在三角形中，連線一個頂點和它所對邊的中點的線段叫做三角形的中線。任何三角形都有三條中線，而且這三條中線都在三角形的內部，並交於一點。由定義可知，三角形的中線是一條線段。由於三角形有三條邊，所以一個三角形有三條中線。且三條中線交於一點。這點稱為三角形的重心。每條三角形的中線分得的兩個三角形面積相等。
基本介紹
- 中文名：三角形中線
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：幾何
- 解釋：連線頂點和所對邊中點的線段
性質,證明,相關區別,
性質
設△ABC的角A、角B、角C的對邊分別為a、b、c．
1、三角形的三條中線都在三角形內。
2、三角形的三條中線長：
ma=(1/2)√2b2+2c2-a2 ；
mb=(1/2)√2c2+2a2-b2 ；
mc=(1/2)√2a2+2b2-c2
(ma,mb,mc分別為角A,B,C所對邊的中線長）
3、三角形的三條中線交於一點，該點叫做三角形的重心。
4、直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的1/2。
5.三角形中線組成的三角形面積等於這個三角形面積的3/4。
6.三角形重心將中線分為長度比為1:2的兩條線段 。
證明
三角形中線組成的三角形面積等於這個三角形面積的3/4.
給出一個△ABC.中線為CD,BF,AE.（如右圖)
解：連線DE並延長到G,使EG=DE.連線BG,FG,EF.
在△DEC和△GEB中
∵DE=EG,∠BEG=∠DEC,BE=EC.
∴△DEC≌△GEB（SAS）.
∴CD=BG. S△DEC=S△GEB.
又∵DE平行且等於1/2AC,DE=EG.
∴EG平行且等於1/2AC.
即EG平行且等於AF.
∴四邊形AEGF為平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形）
∴AE=FG . S△EFG =S△AEF.
這樣△ABC的三條中線CD,BF,AE就構成了△BFG.
∵BF為中線，平分△ABC面積.
∴S△BAF=S△BFC.
又∵EF為△BFC中線，平分△BFC面積.
∴S△BEF=S△EFC=1/4 S△ABC.
又∵CD為△ABC中線，平分△ABC面積.
∴S△ADC=S△BDC.
又∵DE平分△BDC面積.
∴S△BDE=S△DEC=1/4 S△ABC.
∴S△BEG=S△DEC=1/4 S△ABC.
∵AE為△ABC中線，平分△ABC面積.
∴S△BAE=S△AEC.
又∵EF平分△AEC.
∴S△AEF=S△EFC.
∴S△AFE=S△EFG=1/4 S△ABC
∵S△BFG =S△BEF+S△BEG +S△EFG
=1/4 S△ABC+1/4 S△ABC+1/4 S△ABC
=3/4 S△ABC
三形中任意兩條中線的和大於第三條中線
證明：由已知可得CD，BF, AE為△ABC的中線，P為△ABC的重心，∴AP=2/3 AE，CP=2/3 CD，PF=1/2 BP=1/3 BF（重心的性質），延長PF到M，使PF=FM，於是四邊形APCM為平行四邊形，∴AM=CP，△APM中：有AP+AM>PM ∴AP+CP>2PF，AP+CP>BP，2/3 AE+2/3 CD>2/3 BF，即AE+CD>BF 同理，AE+BF>CD，BF+CD>AE， 所以得證：三角形中任意兩條中線的和大於第三條中線
相關區別
“中心”與“重心”很容易弄混淆，“中心”只存在於正三角形，也就是等邊三角形當中。在等邊三角形中，其內心，外心，重心，垂心都在一個點上，於是稱之為中心。
如圖所示，BF,CD,AE分別為正三角形ABC的三條高，中線，角平分線，其交點P即為正三角形ABC的中心。
