三角形的中位線平行於第三邊（不與中位線接觸），並且等於第三邊的一半。
基本介紹
- 中文名：三角形中位線定理
- 外文名：Triangle median line theorem
- 對象：三角形
- 性質1：中位線平行於第三邊
- 性質2：中位線等於第三邊的一半
- 所屬領域：幾何數學
- 套用領域：數學
定理,證明,逆定理,
定理
三角形的中位線平行於第三邊（不與中位線接觸），並且等於第三邊的一半。
如右圖所示，在三角形ABC中，DE是以BC為底的三角形中位線，則可得DE//BC，且DE=BC/2。具體證明過程如下。
三角形的中位線證明
如圖，已知△ABC中，D，E分別是AB，AC兩邊中點。
求證DE平行於BC且等於BC/2
∵CG∥AD
∴∠A=∠ACG
∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括弧）
∴△ADE≌△CGE （A.S.A)
∴AD=CG(全等三角形對應邊相等)
∵D為AB中點
∴AD=BD
∴BD=CG
又∵BD∥CG
∴BCGD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）
∴DG∥BC且DG=BC
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位線定理成立.
方法二：相似法：
∵D是AB中點
∴AD：AB=1：2
∵E是AC中點
∴AE：AC=1:2
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴AD：AB=AE：AC=DE：BC=1：2
∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴BC=2DE,BC∥DE
方法三：坐標法：
設三角形三點分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）
則一條邊長為 ：根號（x2-x1）^2+(y2-y1）^2
另兩邊中點為（（x1+x3）/2，（y1+y3）/2），和（(x2+x3）/2，（y2+y3）/2）
這兩中點距離為：根號（（x2+x3）/2-(x1+x3）/2）^2+((y2+y3）/2-(y1+y3）/2）^2
最後化簡時將x3，y3消掉正好中位線長為其對應邊長的一半
方法4：
延長DE到點G，使EG=DE，連線CG
∵點E是AC中點
∴AE=CE
∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE
∴△ADE≌△CGE (S.A.S)
∴AD=CG、∠G=∠ADE
∵D為AB中點
∴AD=BD
∴BD=CG
∵點D在邊AB上
∴DB∥CG
∴BCGD是平行四邊形
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位線定理成立
方法五：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2
∴DE//BC且DE=BC/2
逆定理
逆定理一：
在三角形內，與三角形的兩邊相交，平行且等於三角形第三邊一半的線段是三角形的中位線。
如圖DE//BC，DE=BC/2，則D是AB的中點，E是AC的中點。
證明：∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2
∴AD=AB/2，AE=AC/2，即D是AB中點，E是AC中點。
逆定理二：
在三角形內，經過三角形一邊的中點，且與另一邊平行的線段，是三角形的中位線。
如圖D是AB的中點，DE//BC，則E是AC的中點，DE=BC/2
三角形的中位線證明：取AC中點E'，連線DE'，則有
AD=BD，AE'=CE'
∴DE'是三角形ABC的中位線
∴DE'∥BC
又∵DE∥BC
∴DE和DE'重合（過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行）
∴E是中點，DE=BC/2
注意：在三角形內部，經過一邊中點，且等於第三邊一半的線段不一定是三角形的中位線！
如圖，在△ABC中，D是AB中點，E在AC上，DE=BC/2，那么DE不一定是△ABC的中位線。理由如下：以D為圓心，DE為半徑作圓，設⊙D與AC交於另一點E'，則有DE'=DE=BC/2，但DE'不是三角形的中位線。
但在一定條件下該命題是真命題。根據正弦定理解三角形可知，若∠A是銳角，當DE≥AD（即當BC≥AB），或DE=ADsinA（即BC=ABsinA，此時∠C=90°）時，命題成立。若∠A是鈍角或直角，則當DE>AD（即BC>AB）時，命題成立。
