中位線定理

中位線是在三角形或梯形中一條特殊的線段，與其所在的三角形或梯形有著特殊的關係。連線三角形的兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。三角形有三條中位線，首尾相接時，每個小三角形面積都等於原三角形的四分之一，這四個三角形都互相全等。

基本介紹

• 中文名：中位線定理
• 外文名：Median line of triangle
• 用途：平面幾何線段間的關係

概念

中位線概念

（1）三角形中位線定義：連線三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

（2）梯形中位線定義：連線梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。

注意

（1）要把三角形的中位線與三角形的中線區分開。三角形中線是連線一頂點和它的對邊中點的線段，而三角形中位線是連線三角形兩邊中點的線段。

（2）梯形的中位線是連線兩腰中點的線段而不是連結兩底中點的線段。

（3）兩個中位線定義間的聯繫：可以把三角形看成是上底為零時的梯形，這時三角形的中位線就變成梯形的中位線。

定理

（1）三角形中位線定理：三角形的中位線平行於第三邊並且等於它的一半．

（2）梯形中位線定理：梯形的中位線平行於兩底，並且等於兩底和的一半．

例題

已知：如圖，DE是△ABC的中位線

中位線定理證明

求證：DE∥BC DE=1/2 BC

證明：延長DE至F，使EF=DE，連線CF

∵DE是△ABC的中位線

∴AE=CE

在△ADE和△CFE中

∵AE=CE（已證），∠AED=∠CEF（對頂角相等），DE=EF（已作）

∴△ADE≌△CFE（SAS)

∴AD=CF（全等三角形對應邊相等）

∠ADE=∠F（全等三角形對應角相等）

∴BD∥CF（內錯角相等，兩直線平行）

∵AD=BD

∴BD=CF

∴四邊形BCFD是平行四邊形

∴DE//BC，DE=1/2DF=1/2BC

證明

已知△ABC中，D、E分別是AB、AC兩邊中點。

求證DE平行於BC且等於BC/2

方法一：幾何法

過C作AB的平行線交DE的延長線於G點。

∵CG∥AD

∴∠A=∠ACG

∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括弧）

∴△ADE≌△CGE （A.S.A)

∴AD=CG（全等三角形對應邊相等）

∵D為AB中點

∴AD=BD

∴BD=CG

又∵BD∥CG

∴BCGD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

∴DG∥BC且DG=BC

∵△ADE≌△CGE （A.S.A)

∴DE=GE

∴DE=DG/2=BC/2

∴三角形的中位線定理成立

方法二：坐標法

設三角形三點分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）

則一條邊長為 ：根號（x2-x1）^2+(y2-y1）²

另兩邊中點為（（x1+x3）/2，（y1+y3）/2），和（(x2+x3）/2，（y2+y3）/2）

這兩中點距離為：根號（（x2+x3）/2-(x1+x3）/2）^2+((y2+y3）/2-(y1+y3）/2）^2

最後化簡時將x3，y3消掉正好中位線長為其對應邊長的一半

方法三

延長DE到點G，使EG=DE，連線CG

∵點E是AC中點

∴AE=CE

∵AE=CE、∠AED=∠CEF、DE=GE

∴△ADE≌△CGE (S.A.S)

∴AD=CG、∠G=∠ADE

∵D為AB中點

∴AD=BD

∴BD=CG

∵點D在邊AB上

∴DB∥CG

∴BCGD是平行四邊形

∴DE=DG/2=BC/2

∴三角形的中位線定理成立

方法四：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2

∴DE//BC且DE=BC/2