基本介紹
判定一,判定二,判定三,判定四,判定五,截長補短法,
判定一
邊角邊 SAS
在△ABC和△DEF中
∵
∴△ABC≌△DEF(SAS)
判定二
角邊角 ASA
在△ABC和△DEF中
∵{∠B=∠E
{BC=EF
{∠C=∠F
∴△ABC≌△DEF(ASA)
判定三
角角邊 AAS
在△ABC和△DEF中
∵{∠B=∠E
{∠C=∠F
{AC=DF
∴△ABC≌△DEF(AAS)
角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。角平分線
判定四
邊邊邊 SSS
在△ABC和△DEF中
∵{AB=DE
{AC=DF
{BC=EF
∴△ABC≌△DEF(SSS)
三角形的穩定性
判定五
HL垂直全等 (直角三角形)
∵AB⊥BC→∠ABC=90°
BD⊥AD→∠BDA=90°
在Rt△ABC和Rt△ABD中 (Rt三角形，就是直角三角形)
{∠ACB=∠BAD=90°
{AC=BD
{AB=BA
∴△ABC≌△DEF(HL)
截長補短法
截長補短法，是國中數學幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想。截長就是在一條線上截取成兩段，補短就是在一條邊上延長，使其等於一條所求邊。
截長：1.過某一點作長邊的垂線 2.在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。
補短：1.延長短邊 2.通過旋轉等方式使兩短邊拼合到一起。
例題：
例1：正方形ABCD中，點E在CD上，點F在BC上，∠EAF=45°。求證：EF=DE+BF。
證明：延長CD到點G，使得DG=BF，連線AG。
∵ABCD是正方形
∴∠ADG=∠ABF=90°，AD=AB
又∵DG=BF
∴ADG≌ABF（SAS）
∴∠GAD=∠FAB，AG=AF
∵ABCD是正方形
∴∠DAB=90°
=∠DAF+∠FAB
=∠DAF+∠GAD
=∠GAF
∴∠GAE=∠GAF-∠EAF
=90°-45°
=45°
∵∠GAE=∠FAE=45°，AG=AF，AE=AE
∴△EAG≌△EAF（SAS）
∴EF=GE
=GD+DE
=BF+DE
例2：如圖，已知AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中點，求∠AEB的度數。
解：向AE方向延長AE，交BC的延長線於F。
∵∠5和∠6是對頂角
∴∠5=∠6
∵E是CD的中點
∴DE=EC
∵AD∥BC
∴∠1=∠F
∴△AED≌△CEF（AAS)
∴AD=CF，AE=EF
∴AB=AD+BC
=CF+BC
=BF
∴△ABF是等腰三角形且AF為底邊
又∵AE=EF且點E線上段AF上
∴BE⊥AF
∴∠AEB=90°
例3：如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC。求證：AB+BD=AC。
證明：在AC上截取AE=AB，連線DE
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
又∵AD=AD，AB=AE
∴△ABD≌△AED（SAS）
∴BD=DE，∠B=∠3
又∵∠B=2∠C
∴∠3=2∠C
又∵∠3=∠4+∠C
∴2∠C=∠4+∠C
即∠C=∠4
∴DE=CE
∴BD=CE
∵AE+EC=AC
∴AB+BD=AC
例4：如圖，AC平分∠DAB，∠ADC+∠B=180°。求證：CD=CB。
證明：在AB上找一點E，使AE=AD，連線CE
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠BAC
又∵AE=AD，AC=AC
∴△ACD≌△ACE(SAS)
∴∠ADC=∠AEC，CD=CE
∵∠ADC=∠AEC
∴∠AEC+∠B=∠ADC+∠B=180°
∵∠CEB+∠AEC=180°
∴∠B=∠CEB
∴CE=CB
∴CD=CB
