九點共圓定理

九點共圓定理：三角形三邊的中點，三條高的垂足，垂心與各頂點連線的中點，九點共圓.

九點圓的歷史

九點圓是幾何學史上的一個著名問題,最早提出九點圓的是英國的培亞敏.俾幾〔Benjamin Beven〕,問題發表在1804年的一本英國雜誌上.第一個完全證明此定理的是法國數學家彭賽列〔1788-1867〕.也有說是1820-1821年間由法國數學家熱而工西法〔1771-1859〕與彭賽列穆巧恩首先發表的.一位高中教師費爾巴哈〔1800-1834〕也曾研究了九點圓,他的證明發表在1822年的《直邊三角形的一些特殊點的性質》一文里,文中費爾巴哈還獲得了九點圓的一些重要性質〔如下列的性質3〕,故有人稱九點圓為費爾巴哈圓.

證明：

如圖連結中點D、K、G，以及垂足U，由中位線定理，容易得出：∠DKG=∠DEG

∵D為Rt△HEU斜邊中點

∴DE=DU

∴∠DEU=∠DUE

∴D、U、G、K四點共圓

同理，可得△HEC的三邊中點與三個垂足六點共圓

同理，△AEC的三個垂足和三邊中點六點共圓

∵過三垂足的圓唯一確定

∴△AEC的三邊中點和三頂點與垂足連線的中點九點共圓

證畢

九點圓的性質

九點圓具有許多有趣的性質,例如:

1.三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半;

2.九點圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點;

3.三角形的九點圓與三角形的內切圓,三個旁切圓均相切〔費爾巴哈定理〕.

4.九點圓是一個垂心組共有的九點圓,所以九點圓共與四個內切圓,十二個旁切圓相切.

5.九點圓心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四點共線且OG=2VG VO=2HO

九點圓圓心的重心坐標的計算跟垂心、外心一樣麻煩。

事先定義的變數與垂心、外心一樣：

d1,d2,d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘（句子很長^_^）。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐標：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。

九點共圓定理

基本介紹