九點圓

在任意的三角形中，三邊的中點、三條高的垂足、三條高的交點(垂心)與三角形頂點連線的中點，這九個點共圓，通常稱這個圓為九點圓（nine-point circle），或歐拉圓、費爾巴哈圓。

基本介紹

• 中文名：九點圓
• 外文名：Nine-Point Circle
• 別稱：歐拉圓、費爾巴哈圓
• 提出者：歐拉
• 提出時間：1765年
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：平面幾何

定義

任意三角形三條高線的垂足、三邊中點以及頂點與垂心的三條連線的中點，共九點都在半徑為1/2R(三角形外接圓半徑)的圓上，且圓心是外心與垂心所連線段的中點。這個圓稱為九點圓，這是龐斯萊命名的。

歷史

數學家歐拉在1765年就發現了九點圓，因此人們稱之為“歐拉圓”。這是幾何學中很著名的問題，在18世紀與19世紀之交已廣為流傳。1804年英國的培亞敏俾凡在雷榜《算理之庫》卷一第十八章中，正式提出“九點”問題，布德衛斯與韋唐給出了證明。1821年格蓋尼和1822年彭色列先後正式發表這一問題。1822年德國人費爾巴哈在《直角三角形的一些特殊點的性質》里，發表了自己的證法，並且說九點圓與內切圓及三個旁切圓相切。這就是人們通常所稱的“費爾巴哈定理”。1827年維茲在《哲學雜誌》發表一篇論文，對九點圓進行了比較詳細的論述。

證明

如右圖所示，△ABC的BC邊垂足為D，BC邊中點為L。證法為以垂心H為位似中心，1/2為位似比作位似變換。

連結HL並延長至L'，使LL'=HL；做H關於BC的對稱點D'。

顯然，∠BHC=∠FHE=180°-∠A，所以∠BD'C=∠BHC=180°-∠A，從而A，B，D'，C四點共圓。

又因為BC和HL'互相平分於L，所以四邊形BL'CH為平行四邊形。故∠BL'C=∠BHC=180°-∠A，從而A，B，L'，C四點共圓。

綜上，A，B，C，D'，L'五點共圓。顯然，對於另外兩邊AB，AC邊上的F，N，E，M也有同樣的結論成立，故A，B，C，D'，L'，F'，N'，E'，M'九點共圓。此圓即△ABC的外接圓⊙O。

接下來做位似變換，做法是所有的點（⊙O上的九個點和點O本身）都以H為位似中心進行位似比為1/2的位似變換。那么，L'變到了L（因為HL'=2HL），D'變到了D（因為D'是H關於BC的對稱點），B變到了Q，C變到了R（即垂心與頂點連線的中點）。其它各點也類似變換。O點變成了OH中點V。

位似變換將圓仍映射為圓（容易用向量證明），因此原來在⊙O上的九個點變成了在⊙V上的九個點，且⊙V的半徑是⊙O的一半。

這就證明了三角形三邊的中點，三高的垂足和三個歐拉點都在一個圓上。

性質

九點圓具有許多有趣的性質，例如：

1. 三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半；

2. 九點圓的圓心在歐拉線上，且恰為垂心與外心連線的中點；

3. 三角形的九點圓與三角形的內切圓，三個旁切圓均相切（費爾巴哈定理）；

4. 九點圓是一個垂心組（即一個三角形三個頂點和它的垂心，共四個點，每個點都是其它三點組成的三角形的垂心，共4個三角形）共有的九點圓，所以九點圓共與四個內切圓、十二個旁切圓相切。

5. 九點圓心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四點共線，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。