庫立奇-大上定理

過圓周上四點中任意三點作三角形，這四個三角形的外心即為該圓的圓心，由九點圓的性質可知：九點圓的圓心到外心的距離等於垂心到外心距離的一半，所以這四個三角形的九點圓圓心所構成的圖形與四個三角形垂心所構成的圖形位似，所以只要證明四個三角形垂心共圓，即可證明四個三角形的九點圓圓心共圓

基本介紹

• 中文名：庫立奇-大上定理
• 定義：數學公式
• 發現者：庫立奇-大上
• 適用：平面圖形

庫立奇-大上定理

圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內接四邊形的九點圓。

定理證明

如圖，四邊形ABCD是圓內接四邊形，O1,O2,O3,O4分別是△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的

九點圓圓心，H1,H2,H3,H4分別是△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的垂心，E為DB邊上A的投影，顯然AE過H4點，容易證明△DH4E和△ABE相似，所以有

DH4AB=DEAE=cos∠ADB

同理有

CH1AB=cos∠ACB=cos∠ADB

所以CH1和DH4平行（垂直於同一條邊）且相等，所以四邊形CH1H4D是平行四邊形，所以H1H4和CD平行且相等，同理可以證明：

H1H2和AD平行且相等

H2H3和AB平行且相等

H3H4和BC平行且相等

所以四邊形ABCD與四邊形好H1H2H3H4對應邊相等，對應角相等，即兩個圖形全等，所以H1,H2,H3,H4四點共圓．