庫利奇大上定理

九點圓（又稱歐拉圓、費爾巴哈圓），在平面幾何中，對任何三角形，九點圓通過三角形三邊的中點、三高的垂足和頂點到垂心的三條線段的中點。九點圓定理指出對任何三角形，這九點必定共圓。

基本介紹

• 中文名：庫利奇大上定理
• 外文名：Coolidge-Oue theorem
• 又稱：歐拉圓
• 領域：平面幾何
• 提出時間：1822年

簡介

庫利奇大上定理是關於共點圓的定理。若過圓周上四點的任三點作三角形，則所作四個三角形的九點圓的圓心都在同一圓上。過這四個九點圓圓心的圓，稱為同一圓上四點構成的四邊形的九點圓。

若過圓周上五點的任四點作四邊形，過這五個九點圓圓心的圓，稱為同一圓上五點所構成的五邊形的九點圓，這樣可繼續給出六點、七點……的情形。

歷史

1765年，萊昂哈德·歐拉證明：“垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圓（六點圓）。”許多人誤以為九點圓是由而歐拉發現所以又稱乎此圓為歐拉圓。而第一個證明九點圓的人是彭賽列（1821年）。

1822年，卡爾·威廉·費爾巴哈也發現了九點圓，並得出“九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切”，因此德國人稱此圓為費爾巴哈圓，並稱這四個切點為費爾巴哈點。庫利奇與大上分別於1910年與1916年發表庫利奇-大上定理“圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓。”這個圓還被稱為四邊形的九點圓，此結果還可推廣到n邊形。

九點圓

九點圓的半徑是外接圓的一半，且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。 圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。 九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切（費爾巴哈定理）。

圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓（庫利奇-大上定理）。

共點圓

(concurrent circles)

共點圓是平面幾何術語，指多個圓的一種特殊位置關係。

若干圓都通過同一個點稱為共點圓。在同一圓周上的若干點稱為共圓點，或稱作這些點共圓。我們知道共圓點的種類有很多。大致可以分為三點共圓、四點共圓、多點共圓。