三角形重心定理

定理由來

三角形的三條邊的中線交於一點。該點叫做三角形的重心。三中線交於一點可用燕尾定理證明，十分簡單。（重心原是一個物理概念，對於等厚度的質量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點，重心因而得名）

1、重心到頂點的距離是重心到對邊中點的距離的2倍。

2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。

3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

4、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均，即其重心坐標為（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

推論：由性質1可知GA+GB+GC=0

向量BO與向量BF共線，故可設BO=xBF,

根據三角形加法法則：向量AO=AB+BO

=a+ xBF=a+ x(AF-AB)

= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.

向量CO與向量CD共線，故可設CO=yCD,

根據三角形加法法則：向量AO=AC+CO

=b+ yCD=b+y(AD-AC)

= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.

所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b.

則1-x= y/2， x/2=1-y，

解得x=2/3,y=2/3.

向量BO=2/3BF，向量CO=2/3CD,

即BO：OF=CO：OD=2。

∴向量AO=(y/2)a+(1-y)b=1/3a+1/3b,

又因向量AE=AB+BE=a+1/2BC= a+1/2(AC-AB)

= a+1/2(b-a)=1/2a+1/2b,

從而向量AO=2/3向量AE,

即向量AO與向量AE共線，所以A、O、E三點共線，

且有AO：OE=2.