重心坐標

數學中，重心坐標是由單形（如三角形或四面體等）頂點定義的坐標。重心坐標是齊次坐標的一種。

基本介紹

• 中文名：重心坐標
• 外文名：barycentric coordinates
• 領域：數學
• 分類：在直線上與在平面上
• 定義：由單形頂點定義
• 相關坐標：內心坐標

定義

設在平面上給出 ．如果點X是這個三角形的頂點帶有質量 和 的質量中心，那么 稱做是點x關於 的重心坐標。

直線上的重心坐標

我們首先在一條直線上定義點的重心坐標．設 和 是直線z上的兩個不同點 和 的向徑．那么， 上的任意一點P的向徑 可表示成

而且這種表示法是唯一的．當點P線上段 上時，還需要下列條件

這時，我們稱 為點P的重心坐標．

重心坐標的幾何意義是明顯的： ．這裡 和 表示相應線段的長．

平面上的重心坐標

設3點 和 構成三角形， 和 分別表示它們的向徑．對三角形所在平面上的任意一點P，可把它的向徑 表示為

這種表示方法是唯一的．事實上，設 還可表示成

將它與上述向徑 式相減，得到

因為與，是線性無關的，所以

即

稱是點P關於基的重心坐標．

如果點P在的內部或邊界上，則除了外，還成立

重心坐標有下列幾何意義．用[PQR]表示有向的面積(有正負)，則

為了證明這個結論，我們延長，使之與或其延長線相交於點Q，如圖1所示．根據直線上一點的重心

坐標的定義得知

而

所以

由於重心坐標的唯一性，因此

由對稱性，同樣可以得出和的幾何意義。

圖1

與內心坐標的關係

若三角形ABC所在平面中一個點的重心坐標P(x,y,z)，定義其內心坐標為，其中a、b、c為A、B、C對邊邊長。內心坐標是用P到三角形ABC三邊距離之比來刻畫P點的位置。三點共線的充要條件是內心坐標組成的三階行列式的值等於0。