重心坐標

重心坐標

數學中,重心坐標是由單形(如三角形或四面體等)頂點定義的坐標。重心坐標是齊次坐標的一種。

基本介紹

  • 中文名:重心坐標
  • 外文名:barycentric coordinates
  • 領域:數學
  • 分類:在直線上與在平面上
  • 定義:由單形頂點定義
  • 相關坐標:內心坐標
定義,直線上的重心坐標,平面上的重心坐標,與內心坐標的關係,

定義

設在平面上給出
.如果點X是這個三角形的頂點帶有質量
質量中心,那么
稱做是點x關於
的重心坐標。

直線上的重心坐標

我們首先在一條直線上定義點的重心坐標.設
是直線z上的兩個不同點
的向徑.那么,
上的任意一點P的向徑
可表示成
而且這種表示法是唯一的.當點P線上段
上時,還需要下列條件
這時,我們稱
為點P的重心坐標.
重心坐標的幾何意義是明顯的:
.這裡
表示相應線段的長.

平面上的重心坐標

設3點
構成三角形,
分別表示它們的向徑.對三角形所在平面上的任意一點P,可把它的向徑
表示為
這種表示方法是唯一的.事實上,設
還可表示成
將它與上述向徑
式相減,得到
因為
,是線性無關的,所以
是點P關於基
的重心坐標.
如果點P在
的內部或邊界上,則除了
外,還成立
重心坐標有下列幾何意義.用[PQR]表示有向
的面積(有正負),則
為了證明這個結論,我們延長
,使之與
或其延長線相交於點Q,如圖1所示.根據直線上一點的重心
坐標的定義得知
所以
由於重心坐標的唯一性,因此
由對稱性,同樣可以得出
的幾何意義。
圖1圖1

與內心坐標的關係

若三角形ABC所在平面中一個點的重心坐標P(x,y,z),定義其內心坐標
,其中a、b、c為A、B、C對邊邊長。內心坐標是用P到三角形ABC三邊距離之比來刻畫P點的位置。三點共線的充要條件是內心坐標組成的三階行列式的值等於0。

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