超越函式

超越函式(Transcendental Functions)，指的是變數之間的關係不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運算表示的函式。

歐拉把約翰·貝努利給出的函式定義稱為解析函式，並進一步把它區分為代數函式（只有自變數間的代數運算）和超越函式（三角函式、對數函式以及變數的無理數冪所表示的函式），還考慮了“隨意函式”（表示任意畫出曲線的函式）。

基本介紹

• 中文名：超越函式
• 外文名：Transcendental Functions
• 套用領域：數學、物理、地理、天文等
• 分類：函式
• 基本概念："超出"代數函式範圍的函式
• 學科：數理科學

定義

如三角函式、對數函式，反三角函式，指數函式，等就屬於超越函式。如y=arcsinx，y=cosx，它們屬於初等函式中的初等超越函式。

超越函式是指那些不滿足任何以多項式作係數的多項式方程的函式。說的更技術一些，單變數函式若為代數獨立於其變數的話，即稱此函式為超越函式。例如，對數函式和指數函式即為超越函式。 超越函式這個名詞通常被拿來描述三角函式，例如正弦、餘弦、正割、餘割、正切、餘切、正矢、半正矢等。

函式的不定積分運算是超越函式的豐富來源，如對數函式便來自代數函式的不定積分。在微分代數里，人們研究不定積分如何產生與某類“標準”函式代數獨立的函式，例如將三角函式與多項式的合成取不定積分。

在數學領域中，超越函式與代數函式相反，是指那些不滿足任何以多項式作係數的方程的函式，即函式不滿足以變數自身的多項式為係數的多項式方程。換句話說，超越函式就是"超出"代數函式範圍的函式，也就是說函式不能表示為有限次的加、減、乘、除、乘方和開方的運算。

嚴格的說，關於變數 z 的解析函式 f(z) 是超越函式，那么該函式是關於變數z是代數獨立的。

非超越函式則稱為代數函式，代數函式的例子有多項式和平方根函式。

對代數函式進行不定積分運算能夠產生超越函式，如對數函式便是在對雙曲角圍成的面積研究中， 對倒數函式y = k/x不定積分得到的， 以此方式得到的雙曲函式sinhx、 coshx、tanhx都是超越函式。

微分代數的某些研究人員研究不定積分如何產生與某類“標準”函式代數獨立的函式，例如將三角函式與多項式的合成取不定積分。

量綱分析

在量綱分析里，超越函式是非常有用的，因為它們只在其參數無量綱時才有意義。因此，超越函式可以是量綱錯誤的顯著來源。

例如，lg(10 m)是個毫無意義的表示式， lg(10 m)不同於 lg(5 m / 3 m) 和 log(3) m，後兩者是有實際意義的。

利用對數恆等式， 將 lg(10m)展開為lg(10) + lg(m)能夠更清晰的說明該問題：一個有量綱的非代數運算會產生無意義的結果。