基本介紹
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解釋
根據牛頓-萊布尼茨公式，許多函式的定積分的計算就可以簡便地通過求不定積分來進行。這裡要注意不定積分與定積分之間的關係：定積分是一個數，而不定積分是一個表達式，它們僅僅是數學上有一個計算關係。一個函式，可以存在不定積分，而不存在定積分，也可以存在定積分，而沒有不定積分。連續函式，一定存在定積分和不定積分；若在有限區間[a,b]上只有有限個間斷點且函式有界，則定積分存在；若有跳躍、可去、無窮間斷點，則原函式一定不存在，即不定積分一定不存在。
性質
1、函式的和的不定積分等於各個函式的不定積分的和；即：設函式
及
的原函式存在，則
求解
由定義可知：
求函式f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函式，由原函式的性質可知，只要求出函式f(x)的一個原函式，再加上任意的常數C就得到函式f(x)的不定積分。
積分公式
註：以下的C都是指任意積分常數。
1、
，a是常數
2、
，其中a為常數，且a ≠ -1
3、
4、
5、
，其中a > 0 ，且a ≠ 1
6、
7、
8、
9、
10、
11、
12、
13、
14、
15、
全體原函式之間只差任意常數C
證明：如果f(x)在區間I上有原函式，即有一個函式F(x)使對任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么對任何常數顯然也有[F(x)+C]'=f(x).即對任何常數C，函式F(x)+C也是f(x)的原函式。這說明如果f(x)有一個原函式,那么f(x)就有無限多個原函式。
不定積分
不定積分設G(x)是f(x)的另一個原函式,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。於是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。
由於在一個區間上導數恆為零的函式必為常數，所以G(x)-F(x)=C’(C‘為某個常數)。
這表明G(x)與F(x)只差一個常數.因此,當C為任意常數時，表達式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一個原函式。也就是說f(x)的全體原函式所組成的集合就是函式族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。
由此可知，如果F(x)是f(x)在區間I上的一個原函式，那么F(x)+C就是f(x)的不定積分，即∫f(x)dx=F(x)+C。
因而不定積分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一個原函式。
積分方法
積分公式法
直接利用積分公式求出不定積分。
換元積分法
換元積分法可分為第一類換元法與第二類換元法。
不定積分
不定積分一、第一類換元法（即湊微分法）
通過湊微分，最後依託於某個積分公式。進而求得原不定積分。例如
。
二、註：第二類換元法的變換式必須可逆，並且
在相應區間上是單調的。
第二類換元法經常用於消去被積函式中的根式。當被積函式是次數很高的二項式的時候，為了避免繁瑣的展開式，有時也可以使用第二類換元法求解。常用的換元手段有兩種：
1、 根式代換法，
2、 三角代換法。
在實際套用中，代換法最常見的是鏈式法則，而往往用此代替前面所說的換元。
鏈式法則是一種最有效的微分方法，自然也是最有效的積分方法，下面介紹鏈式法則在積分中的套用：
鏈式法則：
我們在寫這個公式時，常常習慣用u來代替g，即：
如果換一種寫法，就是讓：
就可得：
分部積分法
設函式和u，v具有連續導數，則d(uv)=udv+vdu。移項得到udv=d(uv)-vdu
不定積分
不定積分兩邊積分，得分部積分公式
∫udv=uv-∫vdu。 ⑴
稱公式⑴為分部積分公式．如果積分∫vdu易於求出，則左端積分式隨之得到．
分部積分公式運用成敗的關鍵是恰當地選擇u,v
一般來說，u,v 選取的原則是：
1、積分容易者選為v， 2、求導簡單者選為u。
例子：∫Inx dx中應設U=Inx,V=x
分部積分法的實質是：將所求積分化為兩個積分之差，積分容易者先積分。實際上是兩次積分。
可以證明，任何真分式總能分解為部分分式之和。
不可積函式
雖然很多函式都可通過如上的各種手段計算其不定積分，但這並不意味著所有的函式的原函式都可以表示成初等函式的有限次複合，原函式不可以表示成初等函式的有限次複合的函式稱為不可積函式。利用微分代數中的微分Galois理論可以證明，如
，xx ，sinx/x這樣的函式是不可積的。
不定積分
不定積分積分表
含有三角函式的積分
示例
例1 求
解：原式=
例2 求
解：原式=
