定積分

定積分是積分的一種，是函式f(x)在區間[a,b]上積分和的極限。

這裡應注意定積分與不定積分之間的關係：若定積分存在，則它是一個具體的數值（曲邊梯形的面積），而不定積分是一個函式表達式，它們僅僅在數學上有一個計算關係（牛頓-萊布尼茨公式），其它一點關係都沒有！

一個函式，可以存在不定積分，而存在不定積分；也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個連續函式，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個間斷點，則定積分存在；若有跳躍間斷點，則原函式一定不存在，即不定積分一定不存在。

基本介紹

• 中文名：定積分
• 外文名：definite integral
• 學科：數學
• 本質：積分
• 釋義：積分和的極限
• 相關名詞：不定積分

積分分類

不定積分（Indefinite integral）

即已知導數求原函式。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C為常數).也就是說，把f(x)積分，不一定能得到F(x)，因為F(x)+C的導數也是f(x)（C是任意常數）。所以f(x)積分的結果有無數個，是不確定的。我們一律用F(x)+C代替，這就稱為不定積分。即如果一個導數有原函式，那么它就有無限多個原函式。

定積分

定積分 （definite integral）

定積分就是求函式f(X)在區間[a,b]中的圖像包圍的面積。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所圍成圖形的面積。這個圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形。

定義

定積分定義：設函式f(x) 在區間[a,b]上連續，將區間[a,b]分成n個子區間[x₀,x₁], (x₁,x₂], (x₂,x₃], …, (x_n-1,x_n]，其中x₀=a，x_n=b。可知各區間的長度依次是：△x₁=x₁-x_0，在每個子區間(x_i-1,x_i]中任取一點ξ_i（1,2,...,n），作和式 。該和式叫做積分和，設λ=max{△x₁, △x₂, …, △x_n}（即λ是最大的區間長度），如果當λ→0時，積分和的極限存在，則這個極限叫做函式f(x) 在區間[a,b]的定積分，記為 ，並稱函式f(x)在區間[a,b]上可積。其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區間[a, b]叫做積分區間，函式f(x)叫做被積函式，x叫做積分變數，f(x)dx 叫做被積表達式，∫ 叫做積分號。

之所以稱其為定積分，是因為它積分後得出的值是確定的，是一個常數， 而不是一個函式。

根據上述定義，若函式f(x)在區間[a,b]上可積分，則有n等分的特殊分法：

特別注意，根據上述表達式有，當[a,b]區間恰好為[0,1]區間時，則[0,1]區間積分表達式為：

性質

1、當a=b時，

2、當a>b時，

3、常數可以提到積分號前。

4、代數和的積分等於積分的代數和。

5、定積分的可加性：如果積分區間[a,b]被c分為兩個子區間[a,c]與[c,b]則有

又由於性質2，若f(x)在區間D上可積，區間D中任意c（可以不在區間[a,b]上）滿足條件。

6、如果在區間[a,b]上，f(x)≥0,則

7、積分中值定理：設f(x)在[a,b]上連續，則至少存在一點ε在（a，b)內使

常用積分法

換元積分法

如果

（1） ;

（2）x=ψ(t)在[α,β]上單值、可導;

（3）當α≤t≤β時，a≤ψ(t)≤b,且ψ（α）=a,ψ(β)=b,

則

分部積分法

設u=u(x),v=v（x)均在區間[a,b]上可導，且u′，v′∈R（[a,b]),則有分部積分公式：

分點問題

定積分是把函式在某個區間上的圖象[a,b]分成n份，用平行於y軸的直線把其分割成無數個矩形，再求當n→+∞時所有這些矩形面積的和。習慣上，我們用等差級數分點，即相鄰兩端點的間距 是相等的。但是必須指出，即使 不相等，積分值仍然相同。

我們假設這些“矩形面積和” ，那么當n→+∞時， 的最大值趨於0，所以所有的 趨於0，所以S仍然趨於積分值。

利用這個規律，在我們了解牛頓-萊布尼茲公式之前，我們便可以對某些函式進行積分。

例如：證明對於函式 有 。

證明：選擇等比級數來分點，令公比

且 ，

那么“矩形面積和”為

提取 ，則有

利用等比級數公式，得到

其中 。

設 ， 令 ，則

令n增加，則s,q都趨於1，因而N的極限為。

黎曼積分

定積分的正式名稱是黎曼積分。用黎曼自己的話來說，就是把直角坐標系上的函式的圖象用平行於y軸的直線把其分割成無數個矩形，然後把某個區間[a,b]上的矩形累加起來，所得到的就是這個函式的圖象在區間[a,b]的面積。實際上，定積分的上下限就是區間的兩個端點a,b.

定積分

我們可以看到，定積分的本質是把圖象無限細分，再累加起來，而積分的本質是求一個導函式的原函式。它們看起來沒有任何的聯繫，那么為什麼定積分要寫成積分的形式呢？

定理

一般定理

定理1：設f(x)在區間[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上可積。

定理2：設f(x)區間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a,b]上可積。

定理3：設f(x)在區間[a,b]上單調，則f(x)在[a,b]上可積。

牛頓-萊布尼茨公式

定積分與不定積分看起來風馬牛不相及，但是由於一個數學上重要的理論的支撐，使得它們有了本質的密切關係。把一個圖形無限細分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由於這個理論，可以轉化為計算積分。這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式，它的內容是：

如果f(x)是[a,b]上的連續函式，並且有F′(x)=f(x)，那么

用文字表述為：一個定積分式的值，就是原函式在上限的值與原函式在下限的值的差。

正因為這個理論，揭示了積分與黎曼積分本質的聯繫，可見其在微積分學以至更高等的數學上的重要地位，因此，牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。

套用

解決求曲邊圖形的面積問題

例：求由拋物線 與直線 圍成的平面圖形D的面積S.

求變速直線運動的路程

做變速直線運動的物體經過的路程s，等於其速度函式v=v(t) (v(t)≥0)在時間區間[a,b]上的定積分。

變力做功

某物體在變力F=F(x)的作用下，在位移區間[a,b]上做的功等於F=F(x)在[a,b]上的定積分。（見圖冊“套用”）

數列求和的極限

若函式在[a,b]上連續，則有：

若函式在[a,b]上連續，則有：

若函式在[0,1]上連續，則有：

以上三個結論。