積分中值定理

積分中值定理，是一種數學定律。分為積分第一中值定理和積分第二中值定理，它們各包含兩個公式。其中，積分第二中值定理還包含三個常用的推論。

積分中值定理揭示了一種將積分化為函式值， 或者是將複雜函式的積分化為簡單函式的積分的方法， 是數學分析的基本定理和重要手段， 在求極限、判定某些性質點、估計積分值等方面套用廣泛。

基本介紹

• 中文名：積分中值定理
• 外文名：Mean value theorems for definite integrals
• 套用領域：數學微積分
• 性質：微積分定理
• 主要劃分：第一中值定理和積分第二中值定理

定理內容

若函式在閉區間上連續，則在積分區間上至少存在一個點，使下式成立

其中，a、b、滿足：。

二重積分的中值定理

設f(x,y)在有界閉區域D上連續，是D的面積，則在D內至少存在一點，使得

定理證明

設（x）在上連續，且最大值為，最小值為，最大值和最小值可相等。

由估值定理可得

同除以（b-a）從而

由連續函式的介值定理可知，必定，使得，即：

命題得證。

幾何意義

這個定理的幾何意義為:若 ， ，則由 軸、 、 及曲線 圍成的曲邊梯形的面積等於一個長為 ，寬為 的矩形的面積。

推廣形式

第一定理

如果函式 、 在閉區間 上連續，且 在 上不變號， 則在積分區間 上至少存在一個點 ，使下式成立：

第二定理

一、如果函式 、 在閉區間 上可積，且 為單調函式，則在積分區間 上至少存在一個點 ,，使下式成立：

二、如果函式 、 在閉區間[a,b]上可積， 並且是單調遞減函式，則在積分區間 上至少存在一個點 ， 使下式成立：

三、如果函式 、 在閉區間 上可積，且 並是單調遞增函式，則在積分區間 上至少存在一個點 ，使下式成立：

定理套用

積分中值定理在套用中所起到的重要作用是可以使積分號去掉，或者使複雜的被積函式化為相對簡單的被積函式，從而使問題簡化。因此，對於證明有關題設中含有某個函式積分的等式或不等式，或者要證的結論中含有定積分，或者所求的極限式中含有定積分時，一般應考慮使用積分中值定理， 去掉積分號，或者化簡被積函式。

求極限

在函式極限的計算中, 如果含有定積分式, 常常可以運用定積分的相關知識, 比如積分中值定理等, 把積分

問題運用

某些帶積分式的函式, 常常會有要求判定某些性質的點的存在的問題, 有時運用積分中值定理能使問題迎刃而解。

例題2

運用估計

在大多數的積分式中, 能找到其被積函式的原函式再進行求值的積分簡直是鳳毛麟角, 當被積函式“積不出”或者原函式很複雜時, 可用各種方法來估計積分。對於乘積型的被積函式, 將變化緩慢的部分或積分困難的部分進行估計, 可積的部分積分之。積分中值定理和各種不等式就是其中常用的方法,

例題3

不等式證明

積分不等式是指不等式中含有兩個以上積分的不等式,當積分區間相同時,先合併同一積分區間上的不同積分,根據被積函式所滿足的條件,靈靈活運用積分中值定理,以達到證明不等式成立的目的。

在證明定積分不等式時, 常常考慮運用積分中值定理, 以便去掉積分符號, 如果被積函式是兩個函式之積時, 可考慮用積分第一或者第二中值定理。對於某些不等式的證明, 運用原積分中值定理只能得到“≥”的結論, 或者不等式根本不能得到證明。而運用改進了的積分中值定理之後, 則可以得到“>”的結論, 或者成功的解決問題。

例題4