積分中值定理

積分中值定理

積分中值定理,是一種數學定律。分為積分第一中值定理積分第二中值定理,它們各包含兩個公式。其中,積分第二中值定理還包含三個常用的推論。

積分中值定理揭示了一種將積分化為函式值, 或者是將複雜函式的積分化為簡單函式的積分的方法, 是數學分析的基本定理和重要手段, 在求極限、判定某些性質點、估計積分值等方面套用廣泛。

基本介紹

  • 中文名:積分中值定理
  • 外文名:Mean value theorems for definite integrals
  • 套用領域:數學微積分
  • 性質:微積分定理
  • 主要劃分:第一中值定理和積分第二中值定理
定理內容,幾何意義,推廣形式,第一定理,第二定理,定理套用,求極限,問題運用,運用估計,不等式證明,

定理內容

若函式
閉區間
上連續,則在積分區間
上至少存在一個點
,使下式成立
其中,a、b、
滿足:
二重積分的中值定理
設f(x,y)在有界閉區域D上連續,
是D的面積,則在D內至少存在一點
,使得
定理證明
(x)在
上連續,且最大值為
,最小值為
,最大值和最小值可相等。
由估值定理可得
同除以(b-a)從而
由連續函式的介值定理可知,必定
,使得
,即:
命題得證。

幾何意義

這個定理的幾何意義為:若
,則由
軸、
及曲線
圍成的曲邊梯形的面積等於一個長為
,寬為
的矩形的面積。

推廣形式

第一定理

如果函式
在閉區間
上連續,且
上不變號, 則在積分區間
上至少存在一個點
,使下式成立:

第二定理

一、如果函式
在閉區間
上可積,且
為單調函式,則在積分區間
上至少存在一個點
,,使下式成立:
二、如果函式
在閉區間[a,b]上可積,
並且是單調遞減函式,則在積分區間
上至少存在一個點
, 使下式成立:
三、如果函式
在閉區間
上可積,且
並是單調遞增函式,則在積分區間
上至少存在一個點
,使下式成立:

定理套用

積分中值定理在套用中所起到的重要作用是可以使積分號去掉,或者使複雜的被積函式化為相對簡單的被積函式,從而使問題簡化。因此,對於證明有關題設中含有某個函式積分的等式或不等式,或者要證的結論中含有定積分,或者所求的極限式中含有定積分時,一般應考慮使用積分中值定理, 去掉積分號,或者化簡被積函式。

求極限

在函式極限的計算中, 如果含有定積分式, 常常可以運用定積分的相關知識, 比如積分中值定理等, 把積分
積分中值定理

問題運用

某些帶積分式的函式, 常常會有要求判定某些性質的點的存在的問題, 有時運用積分中值定理能使問題迎刃而解。
例題2例題2

運用估計

在大多數的積分式中, 能找到其被積函式的原函式再進行求值的積分簡直是鳳毛麟角, 當被積函式“積不出”或者原函式很複雜時, 可用各種方法來估計積分。對於乘積型的被積函式, 將變化緩慢的部分或積分困難的部分進行估計, 可積的部分積分之。積分中值定理和各種不等式就是其中常用的方法,
例題3例題3

不等式證明

積分不等式是指不等式中含有兩個以上積分的不等式,當積分區間相同時,先合併同一積分區間上的不同積分,根據被積函式所滿足的條件,靈靈活運用積分中值定理,以達到證明不等式成立的目的。
在證明定積分不等式時, 常常考慮運用積分中值定理, 以便去掉積分符號, 如果被積函式是兩個函式之積時, 可考慮用積分第一或者第二中值定理。對於某些不等式的證明, 運用原積分中值定理只能得到“≥”的結論, 或者不等式根本不能得到證明。而運用改進了的積分中值定理之後, 則可以得到“>”的結論, 或者成功的解決問題。
例題4例題4

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