閉區間

閉區間是數學用語，與開區間相對。

閉區間是直線上的連通的閉集，是直線上介於固定兩點間的所有點的集合（包括給定的兩點），用[a，b]來表示(包含兩個端點a和b）（且a<b）。由於它是有界閉集，所以它是緊緻的。

基本介紹

• 中文名：閉區間
• 外文名：closed interval
• 相對區間：開區間
• 含義：直線上介於固定兩點間所有點集合
• 相關理論：閉區間套定理

定義

閉區間是數學用語，與開區間相對。

直線上介於固定的兩點間的所有點的集合（包含給定的兩點）。 閉區間是直線上的連通的閉集。由於它是有界閉集，所以它是緊緻的。

閉區間的函式為小於等於的關係，即-∞≤a≤+∞，在數軸上為實心點。閉區間的余集（就是補集）是兩個開區間的並集。實數理論中有著名的閉區間套定理。

代表符號：[x,y] ，即從x值開始到y值，包含x、y。比如：x的取值範圍是3到5的閉區間，那么用數學語言表示即為 [3,5] ，也就是從3（含）到5（含）之間的數。

區間

(intetval)

區間是數軸上一種最常用的點集。區間有三類：

1、閉區間 ，其中 a，b 是實數（下同）；

2、開區間 ；

3、半開區間 半開區間又稱半閉區間。上面的 a，b 分別稱為相應的區間的左、右端點，區間中其他點稱為該區間的內點。

上述各種區間中， 又稱有界區間或有限區間，其他點稱為無界區間或無限區間。對於 ，區間 又稱為對稱區間，區間是數軸上點線段或射線或整個數軸，“開”（“閉”，“半開”）是指不包含（包含，只包含一個）其端點，在擴張的實數系 R* 中，四種開區間可以用一個記號 表示，其中 。類似地，半開區間可以用 或 表示。

b-a 稱為區間的長度。無界區間的長度是 。R* 本身也可寫作 。除了單點集外，區間是 R 中僅有的連通集，文獻中常有以 "]" 和 "[" 分別代替 “(” 和 “)"，而把 寫作 的寫法，類似地也有 等寫法。

閉區間套定理

閉區間套

設有無窮多個閉區間，滿足以下兩個條件：

(1)[a_n+1,b_n+1]⊆[a_n,b_n]（即後一個閉區間都在前一個閉區間之內）；

(2)（即隨著n的增大，閉區間的長度越來越短），

那么將這一無窮多個閉區間所構成的集合稱為一個閉區間套，簡稱區間套。

定理

若是一個閉區間套，則存在唯一實數，並且。

推論

若ξ是閉區間套{[a_n,b_n]}的公共點，則對任意ε>0，總存在自然數N，當n>N時，有[a_n,b_n]⊂U(ξ,ε)。

即，如果ξ是閉區間套{[a_n,b_n]}的公共點，那么在ξ的ε鄰域內，總有區間套{[a_n,b_n]}的無數個區間。