閉集

在拓撲空間中，閉集是指其補集為開集的集合。 由此可以引申在度量空間中，如果一個集合所有的極限點都是這個集合中的點，那么這個集合是閉集。不要混淆於閉流形。

基本介紹

• 中文名：閉集
• 包含：自身的邊界
• 基於：“外部”的概念
• 學科：數學

性質

閉集包含其自身的邊界。換句話說，這個概念基於“外部”的概念，如果你在一個閉集的外部，你稍微“抖動”一下仍在這個集合的外部。注意，這個概念在邊界為空的時候還是真的，比如在有理數的度量空間中，對於平方小於 2 的數的集合。

任意多個閉集的交集是閉集；有限多個閉集的並集是閉集。特別的，空集和全空間是閉集。

交集的性質也被用來定義空間 X 上的集合 A 的閉包，即 X 的閉合子集中最小的 A 的父集。特別的，A 的閉包可以通過所有的其閉合父集的交集來構造。

例子

單位區間 [0,1] 在實數上是閉集。

集[0,1]∩Q在有理數上是閉集，但在實數上並不是閉集。

有些集合既不是開集也不是閉集，如實數上的半開區間 [0,1)。

集合中的“閉集”

我們把“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A且a/b（b≠0）∈A”的集合A稱為閉集。

細說

上述閉集的定義是根據開集而來得，這一概念在拓撲空間上是有意義的，同時也適用於含有拓撲結構的其他空間，如度量空間、可微流形、一致空間和規格空間。

另一種對閉集的定義是通過序列。拓撲空間 X 上的子集 A 是閉合的，若且唯若 A 的元素組成的任意序列的任意極限仍然屬於 A。 這一表述的價值在於，它可以用在收斂空間的定義中，而收斂空間比拓撲空間更普通。 注意，這一表述仍然依賴背景空間 X，因為序列是否在 X 中收斂依賴於 X 中的點。

集合是否是閉合的通常取決於它所在的空間。然而在某種意義上，緊緻的豪斯多夫空間是“絕對閉合的”。精確地說，將緊緻的豪斯多夫空間 K 放在任意豪斯多夫空間 X 中，K 總是 X 的一個閉合子集；這和“背景空間”沒有關係。 實際上，這個性質刻畫了緊緻的豪斯多夫空間。