PBD閉集

PBD閉集(PBD closed set)是一種特殊類型的正整數集合，以P(X)記集合X的子集全體，若有P(X)到自身的一個映射σ：A→σ(A)，使對P(X)中任意子集A和B有：A⊆σ(A)，σ(σ(A))=σ(A)，A⊆B蘊含著σ(A)⊆σ(B)，則稱映射σ是一個閉包運算，能使σ(A)=A的子集A稱為該閉包運算的一個閉集，若B(K)={v|存在(v，K，1)-PBD}，則映射K→B(K)是一個閉包運算，相應的閉集稱為PBD閉集，例如，H_a={r≥1|r≡0，1(mod a)}，H^a_a={r≥1|r≡1(mod a)}，R_k={r≥1|存在(r(k-1)+1，k，1)-BIBD}都是PBD閉集。

基本介紹

• 中文名：PBD閉集
• 外文名：PBD closed set
• 所屬學科：數學（組合學）
• 簡介：一種特殊類型的正整數集合

PBD閉集的生成集

PBD閉集的生成集是一種有限生成子集，設K₀為PBD閉集K的子集，若，則稱K₀是PBD閉集K的生成集，已知任意PBD閉集均有有限的生成集，在具體套用PBD閉集的方法時，需要尋找儘可能小的生成集，若PBD閉集K的某個元x不屬於，則稱x是基本的，若以E_K記PBD閉集K的全體基本元的集合，則E_K是K的最小生成集，稱為該PBD閉集的基，少數PBD閉集的基已經確定。例如，H₃及H₄的基分別為{3，4，5}及{4，5，8，9，12}，及的基分別為{4，7，10，19}及{5，9，13，17，29，33}，這些生成集對於確定平衡不完全區組設計及可分解平衡不完全區組設計存在的充分必要條件有重要作用。

PBD閉集的纖維

PBD閉集的纖維是一種剩餘類，設K為PBD閉集，記，若模β(K)的某個剩餘類至少含K中的一個元k，即，則稱剩餘類是PBD閉集K的一條纖維，若存在常數，使

則稱纖維是完備的，若K的每一條纖維都是完備的，則稱PBD閉集K關於周期β(K)是最終周期的，威爾森(R.M.Wilson)證明了以下有用結果：PBD閉集的每一條纖維都是完備的。換句話說，每一個PBD閉集K關於周期β(K)是最終周期的。

PBD閉集方法

PBD閉集方法是處理某些組合設計存在性的一種方法，適用於具有PBD閉性質的設計，設某種設計由它的某個參數r確定，且存在一個(v，K，1)-PBD，若對K中每一個數k，所有r=k的相應設計的存在性能保證r=v的設計的存在性，則稱這種設計具有PBD閉的性質，對具有PBD閉性質的設計而言，要證明當r屬於某個PBD閉集時設計均存在，只需證明當r屬於該閉集的某個(有限)生成集(或基)時設計均存在即可，例如，施泰納三元系這種組合設計關於它的重複數r具有PBD閉的性質，為了證明當r屬於閉集H₃時相應三元系都存在，只需證明當r屬於H₃的基{3，4，6}時相應三元系存在即可。

根據直接構造方法，由此即得到施泰納三元系存在的充分必要條件為，即，這種方法的好處在於：將本來應對無窮多個r值證明設計的存在性歸結為只需對生成集中有限多個r值證明設計的存在性，這常常使問題變得易於處理；同時，對一種設計所計算的PBD閉集的有限生成集往往也適用於另一種設計，由於許多種組合設計具有PBD閉性質，所以這種方法在一定程度上起著統一處理不同設計存在性問題的作用。