閉映射

閉映射

數學拓撲學中,閉映射是兩個拓撲空間之間的映射,使得任何閉集的像都是閉集。所以f: XY是閉映射,如果X中的閉集在f下的都為Y閉集

基本介紹

  • 中文名:閉映射
  • 外文名:closed mapping
  • 創始人:赫維茨
  • 起源時間:1926年
  • 套用學科:數學
  • 相關術語開映射
定義,例子,性質,特徵定理,閉映射引理,拓展,

定義

數學拓撲學中,閉映射是兩個拓撲空間之間的映射,使得任何閉集的像都是閉集。所以f:XY是閉映射,如果X中的閉集在f下的都為Y的閉集。
閉映射的定義中,並不要求映射連續。與之比較,映射f:XY為連續映射的定義,是所有Y的開集的原像為X的開集,也可等價地定義為所有Y的閉集的原像為X的閉集。雖然閉映射的定義,似較連續映射為自然,但在拓撲學中其重要性不及連續映射。
閉映射的概念是由赫維茨(Hurewicz, W.)於1926年,亞歷山德羅夫(Aoexcannpon, I1. C.)於1927年分別引人的。

例子

(1)定義連續函式f:RRf(x)=x,則f是閉映射,但不是開映射。
(2)任何同胚都是既開且閉及連續的。任何雙射的連續映射是同胚,若且唯若映射是開映射,或等價地,若且唯若映射是閉映射。
(3)X上的恆等映射是一個同胚,故為既開且閉的。但如果XY的子空間,則僅當XY中為閉集時,從XY的包含映射
是閉映射。故此映射的到達域需要指明,以辨別映射是否為閉映射。
(4)定義從[0,2π)到單位圓(視為R中的圓,原點為圓心)的函式:在[0,2π)中的θ所對應的值,是單位圓上與x軸成角度θ的點。這個函式是雙射連續的,所以其從單位圓到[0,2π)的逆函式是既開且閉的。這個逆函式將緊緻的單位圓,映射到不是緊緻的區間[0,2π)。因此可見閉映射不保持緊緻性,這點與連續映射不同。
(5)若Y離散拓撲,則任何到Y中的映射都是既開且閉,但這映射未必連續。例如從實數集R到整數整Z的取整函式是既開且閉,但不是連續。
(6)對於任何拓撲空間的積X= ΠXi,由積拓撲的定義,其投射pi:XXi是開且連續的。不過這投射不一定是閉的:例如令p1:RR是從Rx軸上的投射,並設A是函式f(x)=1/x圖像,即由全部形如(x,1/x)的點構成的集合。那么AR中的閉集,但p1(A)不是x軸中的閉集。不過若Y緊緻集,則投射X×YX是閉映射。

性質

(1)一個映射f:XY是開映射若且唯若對X中每一點x及其任何(任意小的)鄰域U,都存在f(x)的鄰域V使得Vf(U)。因此若fX的某個拓撲基中的元素都映射到Y的開集,則f是開映射。
(2)閉映射的定義,可用內部運算元閉包運算元表達如下:
f:XY是映射,f是閉映射,若且唯若對任何AX,有f(A) ⊆f(A)。
(3)兩個閉映射的複合是閉映射,
(4)兩個閉映射的未必是閉映射。(例如取前述的投射p1:RR,視之為兩個映射fg的積,其中fx軸上的恆等函式,g是從y軸到只包含點0的集合{0}的函式。fg為閉映射,但p1不是。)
(5)一個雙射是開的若且唯若其為閉的。一個連續的雙射,其逆映射是雙射的既開且閉映射,反之亦然。
(6)一個滿射的開映射不一定是閉映射,同樣一個滿射的閉映射也不一定是開映射,
(7)設f是連續映射,且是開的或閉的,那么
(8)f為開或閉映射的條件,對前兩項只是充分條件,對第三項也是必要條件

特徵定理

閉映射引理

有些條件能協助辨別映射是否開或閉。以下列出一些這一類的定理。
閉映射引理指,從緊緻集X豪斯多夫空間Y的連續映射f:XY都是閉且逆緊(緊緻集的原像都為緊緻)。這結果的一個變化指,局部緊緻豪斯多夫空間之間的一個連續映射若為逆緊,則這映射是閉映射。

拓展

泛函分析中的開映射定理指,巴拿赫空間之間的連續線性運算元若是滿射,則為開映射。
複分析中的開映射定理指,在複平面連通開子集上定義的非常數全純函式是開映射。
區域不變性定理指,兩個n拓撲流形間的局部單射且連續的映射都是開映射。

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