基本介紹
- 中文名:閉映射
- 外文名:closed mapping
- 創始人:赫維茨
- 起源時間:1926年
- 套用學科:數學
- 相關術語:開映射
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定義
閉映射的定義中,並不要求映射連續。與之比較,映射f:X→Y為連續映射的定義,是所有Y的開集的原像為X的開集,也可等價地定義為所有Y的閉集的原像為X的閉集。雖然閉映射的定義,似較連續映射為自然,但在拓撲學中其重要性不及連續映射。
閉映射的概念是由赫維茨(Hurewicz, W.)於1926年,亞歷山德羅夫(Aoexcannpon, I1. C.)於1927年分別引人的。
例子
(1)定義連續函式f:R→R為f(x)=x,則f是閉映射,但不是開映射。
(2)任何同胚都是既開且閉及連續的。任何雙射的連續映射是同胚,若且唯若映射是開映射,或等價地,若且唯若映射是閉映射。
(3)X上的恆等映射是一個同胚,故為既開且閉的。但如果X是Y的子空間,則僅當X在Y中為閉集時,從X到Y的包含映射 是閉映射。故此映射的到達域需要指明,以辨別映射是否為閉映射。
(4)定義從[0,2π)到單位圓(視為R中的圓,原點為圓心)的函式:在[0,2π)中的θ所對應的值,是單位圓上與x軸成角度θ的點。這個函式是雙射連續的,所以其從單位圓到[0,2π)的逆函式是既開且閉的。這個逆函式將緊緻的單位圓,映射到不是緊緻的區間[0,2π)。因此可見閉映射不保持緊緻性,這點與連續映射不同。
(6)對於任何拓撲空間的積X= ΠXi,由積拓撲的定義,其投射pi:X→Xi是開且連續的。不過這投射不一定是閉的:例如令p1:R→R是從R到x軸上的投射,並設A是函式f(x)=1/x的圖像,即由全部形如(x,1/x)的點構成的集合。那么A是R中的閉集,但p1(A)不是x軸中的閉集。不過若Y為緊緻集,則投射X×Y→X是閉映射。
性質
(1)一個映射f:X→Y是開映射若且唯若對X中每一點x及其任何(任意小的)鄰域U,都存在f(x)的鄰域V使得V⊂f(U)。因此若f將X的某個拓撲基中的元素都映射到Y的開集,則f是開映射。
設f:X→Y是映射,f是閉映射,若且唯若對任何A⊆X,有f(A) ⊆f(A)。
(3)兩個閉映射的複合是閉映射,
(4)兩個閉映射的積未必是閉映射。(例如取前述的投射p1:R→R,視之為兩個映射f和g的積,其中f是x軸上的恆等函式,g是從y軸到只包含點0的集合{0}的函式。f和g為閉映射,但p1不是。)
(5)一個雙射是開的若且唯若其為閉的。一個連續的雙射,其逆映射是雙射的既開且閉映射,反之亦然。
(6)一個滿射的開映射不一定是閉映射,同樣一個滿射的閉映射也不一定是開映射,