基本介紹
- 中文名：複分析
- 外文名：complex analysis
- 所屬領域：數理科學
- 奠基人：柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯
- 里程碑著作：關於積分限為虛數的定積分的報告
起源,介紹與發展,相關概念與性質,
起源
挪威稅務官卡斯帕·韋塞爾在其1797年的一篇文章中首先發表了許多函式的幾何表示，這種表示最後成了考慮復量的新方法的基礎，這種方法不久就使數學家們相信。他們可以放心地使用這些數了．就複數的表示本身來說，韋塞爾在其《關於方向的分析表示》中的目的最初與之並不相關．他覺得，如果有一種辦法能用單個的代數式表示平面上線段的長度和方向，那么某些幾何概念就能理解得更加清楚．韋塞爾明白，這些表達式必須能被代數地處理．特別地，他需要一種比簡單地使用負號表示相反方向廣泛得多的、可以代數地表示方向的任意變化的方法。這樣，複數的幾何解釋就從韋塞爾對於幾何線段的代數表示中產生了。
介紹與發展
直到19世紀初，複數的“合法性”仍是一個未解決的問題，儘管如此，18世紀的數學家如達朗貝爾和歐拉等人在他們的工作中大量地使用複數和復變數，並由此發現了複函數的一些重要性質．例如，達朗貝爾在研究流體力學問題時，歐拉在用複函數計算實積分時，都得到了現在所稱的柯西～黎曼方程：
其中u,v分別是復變數z=x+iy的一個複函數的實部和虛部．他們的工作導致了分析技巧和函式概念的重要發展．然而不論是歐拉還是達朗貝爾都沒有進一步研究複函數，在他們那裡複函數並不是一個基本的實體，相反，他們是依靠把f(x+iy)的實部和虛部分開來進行其分析工作的．複分析真正作為現代分析的一個研究領域，是在19世紀建立起來的，主要奠基人是柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯，三者的出發點和探討方法有所不同，但卻可以說殊途同歸．
柯西在1825年出版的一本小冊子《關於積分限為虛數的定積分的報告》可以看成是複分析發展史上的第一座里程碑．在其中他建立了我們現在所稱的柯西積分定理．柯西本人對這個定理的敘述如下：
如果f(x)對於x0≤x≤X和y0≤y≤Y是有窮的並且是連續的，z=x+iy，並令x=φ(t)，Y=ψ(t)，其中t取實值，那么積分
的值與函式φ(t)，ψ(t)的形式無關，也就是說與積分路徑無關．
柯西藉助於變分方法證明上述積分定理，其中要求函式f(x)的導數存在並連續，然而他在定理的陳述中卻沒有提到這一條件．柯西接下去考慮了f(z)在矩形區域內部或邊界上成為無窮的情形．這時沿著兩條不同路徑的積分的值一般是不同的．他在各種假設下計算了它們之間的差．例如f(z)只在位於兩條積分路徑之間的一點z0=a+ib處成為無窮，並且以下極限
存在，即f在z0有一個單極點，他證明積分之間的差是±2πiF．柯西在1826年的一篇論文中稱量F本身為積分留數．另外柯西還指出，當一個函式在兩條積分路徑之間有幾個極點時，積分之差必須取留數之和．從1826年起，柯西發表了一系列有關留數計算的文章，並給出了留數的新的表達式．
柯西的積分理論是複分析的開山利斧，通過它可以導出與複函數的解析性相關的一系列本質結果．不過柯西本人當時並未深察其工作的複分析意義．直到1846年，他所關心的中心問題還是實積分及其值的計算．柯西觀點的轉變發生在1846年，他在這一年發表的兩篇文章中把與路徑無關的基本定理和留數定理分別推廣到了任意閉曲線的情形．到1850年前後，柯西已開始認識到他的工作作為複變函數基本結果的重要性．
也就在這個時候，黎曼以題為《單複變函數一般理論基礎》(1851)的論文在哥廷根大學獲得博士學位．正如著名數學家阿爾福斯(L．V．Ahlfors)所說，這篇論文不僅包含了現代複變函數論主要部分的萌芽，而且開啟了拓撲學的系統研究，革新了代數幾何，並為黎曼自己的微分幾何研究鋪平了道路．就複變函數論而言，黎曼的論文以導數的存在性作為複函數概念的基礎：“復變數w稱為另一個變數的函式，如果其變化使得導數
的值與dz的值無關”．黎曼這裡所說的“函式”即現代意義的解析函式．黎曼在論文中證明了在一區域內函式w=u(x，y)+iv(x，y)是變數z=x+iy的解析函式的充分必要條件是實函式u，v在該區域內連續可微，且滿足方程：
如前所述，此方程早先已由歐拉、達朗貝爾等人引入，柯西在1814年討論二重積分換序問題時也導出了同樣的方程，並指出這兩個方程“包含了由實到虛過渡的全部理論”．但只有黎曼才真正使這對方程成為複分析大廈的基石．黎曼的研究揭示出複函數與實函式之間的深刻區別．他的導數定義要求
的極限必須對於z+Δz趨向於z的一切途徑都相同，這一條件事實上保證了在區域內具有一階導數的函式同時具有一切高階導數，而在實函式情形，即使一階導數對所有的方向都存在，也不能保證高階導數的存在．
黎曼這篇論文一個突出的特徵是其中的幾何觀點．正是在這裡，黎曼引入了一個全新的幾何概念，即黎曼曲面．引入這種曲面的出發點在於對多值函式進行研究．黎曼面可以看作是由一些互相適當連線的重疊的平面構成．例如考察函式w2=z，對於每個z值，一般有w的兩個值與之對應．為了研究這個函式並保持兩個值集
和- (或者說函式w2=z的兩個分支)分開，黎曼給每個分支引進一個z值平面，還在每個平面上引進一個點對應於z=∞，將這兩個平面看成是一個位於另一個的上方，它們在兩個分支給出相同w值的那些z值處，即z=0和z=∞處連線起來．這樣w2=z的這兩個平面(或稱葉)就構成了黎曼面．因此，當z在黎曼面上變動時，w就變為z的一個單值函式．雖然黎曼面是一個幾何概念，但它遠非是直觀的，我們也不可能在三維空間裡準確地表示出黎曼面，為此，黎曼的觀點還遭遇到了一些同時代人的反對．例如魏爾斯特拉斯就稱黎曼面不過是一種“幾何幻想物”．
用冪級數表示已用解析形式給出的複函數，這並不完全是一個新的創造．但是，從已知的一個在限定區域內定義某個函式的冪級數出發，根據冪級數的有關定理，推導出在其他區域中定義同一函式的另一些冪級數，這個問題是魏爾斯特拉斯解決的．上述過程也稱為解析開拓，它在魏爾斯特拉斯的理論中起著基本的作用．使用這種方法，已知某個解析函式在一點處的冪級數，通過解析開拓，我們就可以完全得到這個解析函式．
在19世紀末，魏爾斯特拉斯的方法占據了主導地位，正是這種影響，使得“函式論”成為複變函數論的同義詞．但是後來柯西和黎曼的思想被融合在一起，其嚴密性也得到了改進，而魏爾斯特拉斯的思想也逐漸能從柯西一黎曼觀點推導出來．這樣，上述三種傳統便得到了統一．
相關概念與性質
複分析是研究複函數，特別是亞純函式和復解析函式的數學理論。這些函式定義在複平面上，其值為複數，而且可微。研究中常用的理論、公式以及方法包括柯西積分定理、柯西積分公式、留數定理、洛朗級數展開等。複分析的套用領域較為廣泛，在其它數學分支和物理學中也起著重要的作用。包括數論、套用數學、流體力學、熱力學和電動力學。複函數的可微性有比實函式的可微性更強的性質。例如：每一個正則函式在其定義域中的每個開圓盤都可以冪級數來表示：
全純函式（holomorphic function）是定義在複平面C的開子集上的，在複平面C中取值的，在每點上皆復可微的函式。
柯西積分定理：如果全純函式的閉合積分路徑沒有包括奇點，那么其積分值為0；如果包含奇點，則外部閉合路徑正向積分的值等於包圍這個奇點的內環上閉合路徑的正向積分值。
亞純函式：在複分析中，一個複平面的開子集D上的亞純函式是一個在D上除一個或若干個孤立點集合之外的區域全純的函式，那些孤立點稱為該函式的極點。
