基本介紹
- 中文名：洛朗級數
- 外文名：laurent series
- 提出者：Pierre Alphonse Laurent
- 提出時間：1843年
- 相關術語：泰勒級數
- 套用學科：數學
詳細釋義,收斂洛朗系列,
詳細釋義
在數學中，複變函數f(z)的洛朗級數，是冪級數的一種，它不僅包含了正數次數的項，也包含了負數次數的項。有時無法把函式表示為泰勒級數，但可以表示為洛朗級數。洛朗級數是由Pierre Alphonse Laurent在1843年首次發表並以他命名的。卡爾·魏爾斯特拉斯可能是更早發現這個級數的人，但他1841年的論文在他死後才發表於世。
函式f(z)關於點c的洛朗級數由下式給出：
積分路徑γ是位於圓環A內的一條逆時針方向的可求長曲線，把c包圍起來，在這個圓環內是全純的（解析的）。的洛朗級數展開式在這個圓環內的任何地方都是正確的。在右邊的圖中，該環用紅色顯示，其內有一合適的積分路徑 。如果我們讓是一個圓 ，其中 ，這就相當於要計算的限制到上的復傅立葉係數。這些積分不隨輪廓的變形而改變是斯托克斯定理的直接結果。
在實踐中，上述的積分公式可能不是計算給定的函式係數最實用的方法；相反，人們常常通過拼湊已知的泰勒展開式來求出洛朗級數。因為函式的洛朗展開式只要存在就是唯一的 ，實際上在圓環中任何與相等的，以上述形式表示的給定函式的表達式一定就是的洛朗展開式。
收斂洛朗系列
e和洛朗近似：見文中解釋。隨著洛朗級數負次數的增長，圖像接近正確的函式。 e和洛朗近似的負次數的增長。奇點零的鄰域不能被近似。
考慮例如函式，它的 。作為實變函式，它是處處無窮可微的；但作為一個複變函數，在x = 0處不可微。用−1/x替換指數函式的冪級數展開式中的x，我們得到其洛朗級數，對於除了奇點X = 0以外的所有複數，它都收斂並等於ƒ(x)。旁邊的圖顯示了e（黑色）和它的洛朗近似
對於N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7到50。當N → ∞，近似對除了奇點x = 0處的所有複數x都很精確。
