冪級數

冪級數，是數學分析當中重要概念之一，是指在級數的每一項均為與級數項序號n相對應的以常數倍的（x-a）的n次方（n是從0開始計數的整數，a為常數）。冪級數是數學分析中的重要概念，被作為基礎內容套用到了實變函式、複變函數等眾多領域當中。

基本介紹

• 中文名：冪級數
• 外文名：Power series
• 作用：數學分析
• 對象：級數
• 領域：實變函式、複變函數等
• 定義1：函式列 ， 則稱為函式項級數。

概念

設 是定義在某區間I上的函式列，則表達式

(1)

稱為定義在區間I上函式項級數。

如果式（1）上的各項 都是定義在區間 上的冪函式，函式項級數 (2)

稱作冪級數，其中 為常數， 稱為冪級數的係數。

特別的，當 =0時，冪級數式（2）變為

(3)

對於定義在區間I上的函式項級數 ,取定 ,就變成數項級數

(4)

數項級數式（4）可能收斂，也可能發散。如果數項級數式（4）是收斂的，稱 為函式項級數（1）的收斂點；如果數項級數式（4）是發散的，稱 為函式項級數（1）的發散點。函式項級數式（1）的所有收斂點的集合稱為其收斂域，所有發散點的集合稱為其發散域。

對於收斂域上的每一個數x，函式項級數（1）都是一個收斂的常數項級數，因而有一確定的和。因此，在收斂域上函式項級數的和是x的函式，稱為函式項級數的和函式，記作s（x），通常寫成

或 。

收斂半徑

如果 ,則冪級數 的收斂半徑R：

運算

四則運算

（1）冪級數的加法

在和中的較小區間內上式成立，收斂半徑。

（2）冪級數的減法

在和中的較小區間內上式成立，收斂半徑。

（3）冪級數的乘法

在和中的較小區間內上式成立，收斂半徑。

(4)冪級數的除法

兩個冪級數相除的結果仍是冪級數。假設時，

係數由下列等式逐一確立：

相除所得的冪級數的收斂域可能比和小得多。

冪級數的和函式的性質

性質一：冪級數的和函式s（x）在其收斂域I上連續。

性質二：冪級數的和函式s（x）在其收斂域I上可積，並有逐項積分公式

逐項積分後所得的冪級數和原級數有相同的收斂半徑。

推論：冪級數的和函式s（x）在其收斂域內可逐項積分任意次。

性質三：冪級數的和函式s（x）在其收斂區間內可導，並有逐項求導公式

逐項求導後所得的冪級數和原級數有相同的收斂半徑。

推論：冪級數的和函式s（x）在其收斂區間內有任意階導數。