墨卡托級數

在數學內，墨卡托級數(Mercator series)或者牛頓-墨卡托級數(Newton–Mercator series)是一個自然對數的泰勒級數。

基本介紹

• 中文名：墨卡托級數
• 外文名：Mercator series
• 學科：數學

介紹

在數學內，墨卡托級數(Mercator series)或者牛頓-墨卡托級數(Newton–Mercator series)是一個自然對數的泰勒級數：

使用大寫sigma表示則為

當 −1<x≤1時，此級數收斂於自然對數(加了1)。

歷史

這級數被尼古拉斯·墨卡托，牛頓和Gregory Saint-Vincent分別獨立發現。首先被墨卡托出版於其1668年時的著作Logarithmo-technica。

推導

這級數可以由泰勒公式導出，藉由不斷地計算第n次lnx在x=1時的微分，一開始是

或者，我們可以從有限的等比數列開始(t≠−1)

這可以導出

然後得到

接著逐項積分，

若−1<x≤1，餘項會在時趨近於零。

這個表示法可以重複積分k次，得到

這裡的

和

都是x的多項式。

特例

令墨卡托級數裡面的x=1，則我們會得到交錯調和級數

複數級數

下面的複數冪級數

是ln(1+z)的泰勒級數，這裡ln代表複對數(complex logarithm)的主要分支(principal branch)。這個級數收斂於一個開放的單位圓盤|z|<1 以及圓 |z|=1 ，z=-1除外 (根據阿貝爾判別法)，而且這裡的收斂對每個半徑小於一的圓盤是一致的。