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本書可供高等院校理工科學生、研究生、教師參考。
目錄
第一章 拓撲空間
引言
2 存在某個集X上的兩個拓撲, 其並不是X上的拓撲
3 存在某個Hausdorff空間中的基本有界集, 它不是緊有界的
4 存在某個積空間X×y中的不開的子集A, 使A[x]= y|（x, y）∈A 與A[y]= x| x, y ∈ 分別是y與X的開集
5 存在某個集X上的兩個拓撲τ1與τ2, 使τ1∩τ2, 但 X, τ1 中的半開集未必是 X, τ2 中的半開集
6 存在某個集X上的兩個不同的拓撲τ1與τ2, 使A是 X, τ1 中的半開集若且唯若A是 X, τ2 中的半開集
7 存在某個S閉空間, 它的一個子空間不是S閉的
8 存在某個S閉空間的連續像, 它不是S閉的
9 存在某個集上的一族Urysohn拓撲, 其中不存在最弱的拓撲
10 存在某個由拓撲空間X到Y上的半同胚映射f,它在X的某個子集A上的限制f|A不是A到f A 上的半同胚映射
11 存在某個拓撲空間的緊子集, 它不是S緊的
12 存在兩個正則開集, 其並不是正則開集
13 存在兩個正則閉集, 其交不是正則閉集
14 存在某個拓撲空間X, 其中每個非空子集在X中都是稠密的
15 存在某個有限集, 其導集非空
16 存在某個集的導集, 它不是閉集
l7 存在某個T1空間中的緊集, 它不是閉的
18 存在某個拓撲空間, 其中每個非空閉集都不是緊的
19 存在某個非Hausdorff空間, 其中每個緊集都是閉的, 而每個閉集也都是緊的
20 存在某個緊集, 其閉包不是緊集
21 存在某個拓撲空間, 它的每個緊集都不包含非空開集
22 存在某個無限拓撲空間, 其中每個子集都是緊的
24 存在某個無限拓撲空間, 其中不含有無限孤立點集
25 存在某個非離散的拓撲空間, 其中每個緊集都是有限集
27 存在兩個拓撲空間X與y, 使X同胚於y的一個子空間, 而y同胚於X的一個子空間, 但X與y並不同胚
30 R2中存在不同胚的子集
31 存在兩個同胚的度量空間X與y, 其中X中的有界集都是全有界的, 而y中的有界集並不都是全有界的
32 存在兩個度量空間X與y, 使X2與y2等距而X與y並不等距
33 存在某個非緊的度量空間, 它不能與其真子集等距
34 存在某個拓撲空間X, X的點都是函式, 其拓撲相當於逐點收斂, 而X不是可度量化的空間
35 存在某個函式序列 fn , 其圖像序列 G fn 收斂, 但 fn 並不一致收斂
第二章 映射與極限
引言
1 存在無界的收斂實數網
2 存在某個序列的子網, 它不是子序列
3 存在某個網 xα|α∈A 及A的一個無限子集B, 使 xβ|β∈B 不是子網
4 存在某個序列閉集, 它不是閉集
5 存在某個拓撲空間的序列, 它收斂於該空間的每一個點
6 存在某個集X上的兩個拓撲τ1與τ2, 凡 xn 依τ1收斂於x必蘊涵 xn 依τ2收斂於x,但τ1並不強於τ2
7 至多有一個聚點的拓撲空間
8 1°子集A以點x為聚點;2°A/ x 中存在序列收斂於x;3°A\ x 中存在完全不同的點所成的序列收斂於x.上述三個命題彼此
不等價
9 存在某個具有聚點的可數集S, 而在S中不存在收斂於該聚點的序列
10 存在某個非第一可數空間, 使得每個集的每個聚點必是該集中某個序列的極限
12 聚點. w聚點與凝聚點這三個概念兩兩相異
13 一個非Hausdorff空間, 其中收斂序列的極限都是唯一的
14 存在某個拓撲空間到另一個拓撲空間上的映射, 它是連續的, 但既不是開的也不是閉的
15 存在某個拓撲空間到另一個拓撲空間上的映射, 它是開的和閉的, 但不是連續的
16 存在某個拓撲空間到另一個拓撲空間上的映射, 它是閉的, 但既不是開的也不是連續的
17 存在某個拓撲空間到另一個拓撲空間上的映射, 它是連續的和開的, 但不是閉的
18 存在某個拓撲空間到另一個拓撲空間上的映射, 它是開的, 但既不是連續的也不是閉的
19 存在某個拓撲空間到另一個拓撲空間上的映射, 它是連續的和閉的, 但不是開的
20 存在某個一對一的閉映射, 其逆映射不是閉映射
21 存在某個拓撲空間X到另一個拓撲空間Y的兩個連續而不相等的映射, 它們在X的某個稠密子集上取值相同
22 存在某個不連續映射, 它把緊集映成緊集
23 存在兩個連續閉映射f與g,使f×g不是閉映射
24 存在半連續而不連續的映射
25 存在兩個半連續映射, 它們的和與積並不半連續
26 存在某個半連續映射序列的逐點極限, 它並不半連續
27 弱*連續映射與弱連續映射互不蘊涵
28 弱連續映射與序列連續映射互不蘊涵
29 序列連續且弱連續而不弱*連續的映射
30 序列連續且弱*連續而不弱連續的映射
31 弱連續且序列連續而不連續的映射
32 存在某個具有強閉圖像的弱連續映射, 它並不連續
33 存在某個具有強閉圖像的映射, 它並不弱連續
34 存在某個具有閉圖像的映射, 它的圖像並不強閉
35 存在某個Darboux映射, 它不是連續映射
36 閉映射. 誘導閉映射與偽開映射之間的關係
37 存在某個閉包連續映射, 它卻無處連續
38 存在拓撲空間X, Y及映射f:X→Y, 使f在某點連續而不閉包連續
39 存在某個正則空間X到拓撲空間Y的映射f, 使f在某點閉包連續而不連續
40 存在弱連續而非θ-s連續的映射
第三章 可分性與可數性
引言
1 存在某個不可分的拓撲空間, 它滿足可數鏈條件
2 可分性與第一可數公理互不蘊涵
3 可分空間與緊空間互不蘊涵
4 可分空間與Lindelof空間互不蘊涵
5 第一可數空間與Lindelof空間互不蘊涵
6 第一可數空間與緊空間互不蘊涵
7 第一可數空間與Hausdorff空間互不蘊涵
8 存在不滿足第一可數性公理的可數拓撲空間
9 存在某個T1空間, 其中每個緊子集都是閉的, 但它不是Hausdorff空間
10 存在滿足第一可數公理而不滿足第二可數公理的拓撲空間
11 存在某個滿足第一可數公理且可分的Lindelof空間, 它不滿足第二可數公理
12 存在不滿足第二可數公理的遺傳可分空間
13 存在某個可分的緊空間, 它不是稠密可分的
14 存在某個不可分空間, 它有可分的Stone-Cech緊化
15 存在不可數個可分空間, 其積空間並不可分
16 存在某個可分空間的閉子空間, 它不是可分的
17 存在某個集X上的兩個拓撲τ1與τ2,τ1<τ2,使 X, τ1 可分而 X, τ2 不可分
18 存在某個滿足第一可數公理的拓撲空間, 它的一個面空間不滿足第一可數公理
19 存在不可數個滿足第一可數公理的拓撲空間, 其積空間不滿足第一可數公理
20 存在某個滿足第一可數公理的拓撲空間, 它的一個連續像不滿足第一可數公理
21 存在兩個Lindelof空間, 其積空間不是Lindelof空間
22 存在某個Lindelof空間的子空間, 它不是Lindelof空間
23 存在某個可分的度量空間X及Lindelof空間Y, 使X×Y不是Lindelof空間
24 存在不可度量化的滿足第一可數公理的可分的緊Hausdorff空間
25 存在某個可分的度量空間, 它無處局部緊
26 存在一族可度量化的拓撲空間, 其積空間不可度量化
27 存在某個可度量化的拓撲空間, 它的一個商空間不可度量化
第四章 分離性
引言
1 存在某個拓撲空間, 它不是T0空間
2 存在T0而非T1的拓撲空間
3 存在T1而非T2的拓撲空間
4 存在T2而非半正則的拓撲空間
5 存在半正則而非正則的拓撲空間
6 存在某個Hausdorff空間, 它不是完全Hausdorff空間
7 存在某個完全Hausdorff空間, 它不是正則空間
8 半正則空間與完全Hausdorff空間互不蘊涵
9 存在某個完全Hausdorff空間, 它不是Urysohn空間
10 存在某個Urysohn空間, 它不是完全正則空間
11 Urysohn空間與半正則空間互不蘊涵
12 存在完全正則而非正規的拓撲空間
13 存在正規而不完備正規的拓撲空間
14 存在正規而不完全正規的拓撲空間
15 正則而不完全正則的拓撲空間
16 Urysohn空間與正則空間互不蘊涵
17 完全正規而不完備正規的拓撲空間
18 存在某個正規空間的子空間, 它不是正規空間
19 存在某個非正規空間, 它的每個真子空間都是正規的
20 存在兩個正規空間, 其積空間並不正規
21 存在不可數個可度量化的可數空間, 其積空間並不正規
22 存在兩個完全正規空間, 其積空間並不完全正規
23 存在一族完備正規空間, 其積空間並不完備正規
24 存在某個正則空間的商空間, 它不是正則空間
25 存在某個由正則空間X到拓撲空間Y上的一對一的閉映射f,使f X =Y不是正則空間
26 介於T0與T1之間的分離公理
27 介於T1與T2之間的分離公理
28 存在不可度量化的緊的完全正規空間
29 存在不可度量化的可數的完全正規空間
第五章 連通性
引言
1 存在連通而非弧狀連通的拓撲空間
2 存在弧狀連通而非超連通的拓撲空間
3 存在局部連通而非局部弧狀連通的拓撲空間
4 局部連通空間與連通空間互不蘊涵
5 弧狀連通空間與局部連通空間互不蘊涵
6 超連通空間與局部連通空間互不蘊涵
7 局部弧狀連通空間與超連通空間互不蘊涵
8 局部弧狀連通空間與連通空間互不蘊涵
9 局部弧狀連通空間與弧狀連通空間互不蘊涵
10 存在連通而不強連通的拓撲空間
11 強局部連通空間與強連通空間互不蘊涵
12 存在某個拓撲空間的子集A與B, 使AUB與AUB都是連通的, 但A與B並不都連通
13 閉包連通而本身並不連通的子集
14 存在某個拓撲空間, 其中每個無限集都是連通的
15 存在某個不連通的度量空間 X,d , 使得對每一x∈X, fx y =d x, y 都具有介值性質
16 存在某個度量空間 X, d 申的序列S, 使S有子列Y= yn 滿足limd yn,yn 1 =0,C Y =C S ,而C S 不連通, 這裡C Z 表示序列Z的聚點之集
17 存在不閉的弧狀連通區
18 存在某個弧狀連通集, 其閉包並不弧狀連通
19 R2中存在某個子集B, 使B與B都是連通的, 且B還是弧狀連通的, 但B卻不是弧狀連通的
20 存在某個連通空間, 任意移走一點後仍為連通空間
21 存在完全不連通的非離散的拓撲空間
22 存在某個完全不連通的度量空間, 其中任意開球B a,r 的閉包都是閉球B[a,r
23 存在某個連通空間, 只移走一點後就變成完全不連通空間
24 存在可數Hausdorff連通空間
25 存在可數Hausdorff連通. 局部連通空間
26 存在具有散點的可數Hausdorff連通空間
27 存在某個具有散點p的連通空間X, 使得對每一連續的非常值映射f:X X, 都有f p =p
29 存在某個拓撲空間, 它是兩個全斷的閉子集的並, 但它本是連通的
30 存在可數個局部連通空間, 其積空間並不局部連通
31 存在某個局部連通空間的連續像, 它不是局部連通的
33 箱拓撲與積拓撲之間的差異
第六章 緊性
引言
1 存在子集緊而不可數緊的拓撲空間
2 存在可數緊而不緊的拓撲空間
3 存在序列緊而不緊的拓撲空間
4 存在緊而不序列緊的拓撲空間
5 存在可數緊而不序列緊的拓撲空間
6 存在局部緊而不強局部緊的拓撲空間
7 三種不同的局部緊空間的定義之間的關係
8 存在某個強局部緊空間, 它不是緊的
9 存在某個Lindelof空間, 它不是緊的
10 存在某個緊而不緊的拓撲空間
11 R2中存在兩個局部緊的子空間, 其並不是局部緊的
12 存在可數個局部緊空間, 其積不是局部緊的
13 存在某個局部緊空間的子空間, 它不是局部緊的
14 存在某個局部緊空間的商空間, 它不是局部緊的
15 存在某個局部緊空間的連續像, 它不是局部緊的
16 存在某個強局部σ緊空間X和開映射f,使f X 不是強局部緊的
17 存在某個強局部σ緊空間的開連續像, 它不是強局部緊的
18 存在可數個σ緊空間, 其積不是σ緊的
19 存在某個σ緊空間的子空間, 它不是σ緊的
21 存在不可數個序列緊空間, 其積空間並不序列緊
22 存在兩個可數緊空間, 其積空間並不可數緊
23 存在某個子集緊空間的連續像, 它不是子集緊的
24 存在某個Hausdorff空間, 它的一點緊化不是Hausdorff空間
25 任給自然數n,可構造一個具有n點緊化的拓撲空間, 但對m>n, 不存在m點緊化空間
26 存在兩個Hausdorff空間, 它們都有n點緊化空間, 而其積空間沒有n點緊化空間
27 存在某個最強的緊拓撲, 它不是Hausdorff拓撲
28 存在某個最弱的Hausdorff拓撲, 它不是緊拓撲
29 存在某個可度量化的局部緊空間, 其一點緊化不可度量化
30 存在可數亞緊而非亞緊的拓撲空間
31 存在亞緊而不仿緊的拓撲空間
32 存在一個仿緊空間, 它不是緊空間
33 存在可數亞緊而不可數仿緊的拓撲空間
34 存在可數仿緊而不可數緊的拓撲空間
35 存在可數仿緊而不仿緊的拓撲空間
36 亞緊空間與可數仿緊空間互不蘊涵
37 存在仿緊而不全體正規的拓撲空間
38 存在正規而不全體正規的拓撲空間
39 存在全體正規而不超全體正規的拓撲空間
40 存在正規而不族正規的拓撲空間
41 存在族正規而不完全族正規的拓撲空間
42 存在σf仿緊而非正規的拓撲空間
43 存在某個可數亞緊空間的開連續像, 它不是可數亞緊的
45 存在某個仿緊空間的子空間, 它不是仿緊空間
46 存在某個完全正規的仿緊空間與某個可分的度量空間, 其積空間不是正規空間
47 存在某個亞緊的Moore空間, 它不是可遮空間
48 存在某個可遮的Moore空間, 它並不正規
49 存在不可度量化的完全正規的仿緊空間
50 存在不可度量化的Moore空間
51 存在某個仿緊的遺傳可分的半度量空間, 它不是可展的
第七章 線性拓撲空間
引言
1 線性度量空間中的一個度量有界集, 它不有界
2 一個非局部凸的線性度量空間, 其中度量有界集與有界集是一致的
3 存在某個有界集, 它的凸包不是有界的
4 存在某個相對緊集, 它的平衡凸包不是相對緊的
5 局部有界而不局部凸的線性拓撲空間
6 局部凸而非局部有界的線性拓撲空間
7 xn→o並不蘊涵的線性拓撲空間
8 存在某個線性空間上的兩個不同拓撲, 它們具有相同約有界集
9 存在某個線性空間上的兩個不同拓撲, 它們具有相同的連續線性泛函
10 存在某個線性空間上的兩個不同拓撲, 它們具有相同的閉子空間
11 有界集必為全有界集的無窮維線性拓撲空間
12 存在某個賦范線性空間X的子集B, 使B是σ X, X'' 全有界而不範數拓撲全有界
14 存在某個線性拓撲空間, 其申存在緊而不序列緊的子集
15 一個線性空間上的兩種不同的拓撲, 在這兩種拓撲下收斂序列是相同的, 但緊集並不相同
16 Mackey相對緊而非Mackey相對序列緊的子集
17 有界而不連續的線性映射
18 連續而不強有界的線性映射
19 無處連續的自反開映射
20 非線性的等距映射
21 不存在非零連續線性泛函的線性拓撲空間
22 一個非局部凸空間, 在它上面存在非零連續線性泛函
23 一個線性拓撲空間中的兩個閉子空間, 其和不閉
24 代數相補而不拓撲相補的閉子空間
25 一個線性拓撲空間, 其中每個有限維子空間都沒有相補子空間
26 存在某個最強的線性拓撲, 它不是局部凸的
27 存在兩個線性拓撲, 其交不是線性拓撲
第八章 局部凸空間
引言
1 一個局部凸的Frechet空間, 它不是Banach空間
2 不可度量化的完備的局部凸空間
3 序列完備而不有界完備的局部凸空間
4 有界完備而不完備的局部凸空間
5 完備而不Br完備的局部凸空間
6 全完備而不超完備的線性拓撲空間
7 不可度量化的超完備的局部凸空間
8 不完備的G空間
9 兩個相容的拓撲, 其中一個完備而另一個不完備
10 存在某個不可分的局部凸空間, 它的每個有界子集都是可分的
11 存在某個完備空間的稠密的真子空間, 它是序列完備的
13 一個局部凸空間中的凸緊集, 它不是其端點集的凸包
14 一個局部凸空間中的平衡閉凸集, 它沒有端點
15 具有稠密端點的凸集
16 一個線性拓撲空間申的緊凸集, 它沒有端點
17 一個局部凸Hausdorff空間中的兩個凸緊集A與B, 使ext A十B ≠ext A 十ext B
18 存在某個緊集, 其絕對凸閉包不是緊的
19 一個對偶空間 X, Y , 使X上的一個相容拓撲並不位於σ X, Y 與m X, Y 之間
20 一個線性空間, 在它上面的所有相容局部凸拓撲都是相同的
21 一族局部凸空間Xa的歸納極限X, 使X的某個有界集不包含於任何一個Xa內
22 一個局部凸空間族Xa的歸納極限X, 使在某個Xa上由X誘導出來的拓撲不等於Xa的原拓撲
23 存在某個局部凸空間中的兩個賦范子空間的代數直接和, 它不可度量化
24 非局部凸的幾乎弱*拓撲
25 幾乎弱*閉而不弱*閉的集合
26 存在某個全完備空間到另一個全完備空間上的連續線性映射, 它不是開的
27 偽完備而不完備的線性拓撲空間
28 一個線性拓撲空間上的平移不變的距離, 它不能連續擴張成為完備化空間上的距離
29 一個局部凸空間的凸緊子集, 它關於度量空間有絕對擴張, 而關於緊Hausdorff空間沒有絕對擴張
30 準上半連續而不上半連續的映射
31 弱上半連續而不準上半連續的映射
33 可分而不序列可分的線性拓撲空間
34 一個可度量化空間序列的嚴格歸納極限, 它不可度量化
35 一個完備的局部凸空間, 它的一個商空間並不完備
36 存在兩個全完備空間, 其積並不全完備
37 存在一族全完備空間, 其直接和並不全完備
38 存在一族超完備空間, 其直接和並不超完備
39 一個全完備空間序列的嚴格歸納極限, 它不是全完備空間
40 一個完備局部凸空間族的歸納極限, 它並不完備
第九章 桶空間. 圃空間和Bare空間
引言
1 存在某個賦范空間, 它不是桶空間
2 第一綱的桶空間
3 不可度量化的桶空間
4 不可度量化的圍空間
5 桶空間與圃空間互不蘊涵
6 存在某個擬桶空間, 它既不是圍空間, 也不是桶空間
7 一個擬M桶空間, 它不是擬桶空間
8 一個半圃空間, 它不是s圃空間
9 c序列空間與, 圃空間互不蘊涵
10 存在某個完備的局部凸空間, 它不是擬桶空間
11 存在某個特異空間, 它不是半自反的
12 存在某個局部凸的Frechet空間, 它的強對偶既非圍空間, 也非桶空間
13 存在某個特異空間, 它的強對偶不可分
14 存在某個特異空間, 它的強對偶不可度量化
15 存在某個特異空間, 它不是擬桶空間
16 存在某個有界完備的局部凸空間, 它不是序列桶空間
17 存在某個囿空間, 它的強雙對偶不是囿空間
18 存在某個可數桶空間, 它不是桶空間
19 存在某個可數擬桶空間 因而是σ擬桶空間 , 它不是σ桶空間
20 存在某個序列桶空間, 它不是σ擬桶空間
21 存在某個具有性質 c 的局部凸空間, 它不是σ桶空間
22 存在某個序列桶空間, 它沒有性質 s
23 存在某個 DF 空間, 它不是可數桶空間
24 存在某個 DF 空間, 它不是擬桶空間
25 存在某個K擬桶空間, 它不是K桶空間
27 一個桶空間的閉子空間, 它不是桶空間
28 一個囿空間的閉子空間, 它不是囿空間
29 一個桶空間, 它的一個稠密的不可數余維子空間不是桶空間
30 一個桶空間, 它的一個稠密的不可數維的子空間不是桶空間
31 一個Baire-like空間, 它不是無序Baire-like空間
32 一個賦范桶空間 從而是Baire-like空間 , 它不是Baire空間
33 一個Mackey空間, 它不是擬桶空間
34 不具有性質 s 的Mackey空間
35 一個具有性質 s 的Mackey空間, 它不具有性質 c
36 一個半自反的Mackey空間, 它不是自反的
37 一個Mackey空間, 它不是σ擬桶空間
38 一個Mackey空間且是σ桶空間, 它不是桶空間
39 一個σ桶空間, 它不是Mackey空間
40 存在某個 LF 空間的Mackey對偶, 它不是巴完備的
41 存在某個半自反空間, 它的強對偶不是半自反的
42 一個非自反 甚至非半自反 的局部凸空間, 它的強對偶是自反的
43 存在某個桶空間, 它不是Montel空間
44 存在某個Frechet空間, 它不是Schwartz空間
45 存在某個Schwartz空間, 它不是Montel空間
46 不可分的Montel空間
47 自反的非Montel空間
48 不完備的Montel空間
49 存在某個自反空間的閉子空間, 它不是自反的
50 存在某個Mackey空間的閉子空間, 它不是Mackey空間
51 存在某個 DF 空間的閉子空間, 它不是 DF 空間
52 一個具有性質 c 的Mackey空間, 它的一個稠密的有限, 空間卻不是Mackey空間
第十章 線性拓撲空間中的基
引言
1 沒有基的可分Banach空間
2 一個有基的Banach空間, 其對偶空間沒有基
3 有基而沒有無條件基的Banach空間
4 具有唯一無條件基的無窮維Banach空間
5 一個Banach空間的無條件基, 它不是有界完全的
6 一個Banach空間的無條件基, 它不是收縮的
7 一個Banach空間的無條件基, 它不是絕對收斂基
8 一個Banach空間的基, 它不是正規基
9 一個Banach空間的基, 它不是單調基
10 一個Banach空間的次對稱基, 它不是對稱基
11 有基而沒有次對稱基的Banach空間
12 一個賦范線性空間的基, 它不是Schauder基
13 一個Banach空間, 它的對偶空間有弱*基而沒有基
14 一個Banach空間, 它的對偶空間的一個Schauder基不是弱*基
15 一個Banach空間, 它的對偶空間的一個弱*基不是弱*Schauder基
16 一個賦范線性空間中的弱Schauder基, 它不是基
17 一個稠密子空間的基, 它不是整個空間的基
18 序列 xn , 它是Banach空間 X, ‖·‖X 與 Y, ‖·‖Y 的基, 但不是（X∩Y, ‖·‖=‖·‖X ‖·‖Y）的基
19 不具有KMR性質的局部凸空間
20 一個Frechet空間, 它的一個弱Schauder基不是Schauder基
參考文獻
