基本介紹
定義,新定義,性質,實例,自然數,非負偶數,非負奇數,整數集,有理數集,正整數集合,正整數序列,參見,
定義
可數集的一個定義是“能與自然數集的某個子集一一對應的集合”。在這個意義下不是可數集的集合稱為不可數集。這個術語是康托爾創造的。可數集的元素，正如其名，是“可以計數”的：儘管計數可能永遠無法終止，集合中每一個特定的元素都將對應一個自然數。
“可數集”這個術語也可以代表能和自然數集本身一一對應的集合。兩個定義的差別在於有限集合是否被視為可數集。為了避免歧義，前一種意義上的“可數”有時稱為“至多可數”，後一種“可數集”則又稱為“無限可數集”。
新定義
可列和可數在英文裡是一個詞：countable，這是以前科學不夠發達，不需要進行區分時的結果。而現在我們需要進行概念區分，因此按字面意思，將“可列”理解為“可以寫出”；“可數”理解為“可以記數”。在下面的論述中，分這樣兩個概念討論。我們無法寫出一個最大的自然數，因此自然數全體是不可寫全的，任何無限集，都是不可寫全的。如果有一些數，位數多的我們承認有生之年無法完全比較，而在可比較的範圍內它們又一樣，這樣我們在數元素個數時，不知道它們該算一個元素還是多個元素，這種情況，稱為不可記數。
從定義可以看出，不可寫全的數，如果我們發現它的一部分，和集合中的其它元素都不一樣，我們就知道它是一個獨立元素，就可以記數。而不可記數的數，我們可能可以知道它的數量範圍（最大數量每個算一個元素，最小數量認為只有一個元素），或者也可以知道它們都是可寫的。因此這兩個概念是有交叉而互不影響的。無理數除了能用有理數表示的和可以定義的，都是不可列的。
定理：最大元素數量的有限集（如果存在的話），或與最大數量有限集差固定常數的集合（如果仍然存在的話），是不可能寫全的。最大元素數量有限集是無限趨近於無限集的，以至於沒有手段進行判斷。任何定義的無限集或有限集都需要滿足此公理。
證明：假設最大有限集元素被全部寫出，那么寫完其中所有元素後，再增加一個元素，該集合元素數量還是有限的，但元素數量比已寫出的集合元素數量多1，證明原來假設寫出的是數量最多的有限集不成立。所以最大元素數量的有限集，是不可能寫全的。假設與最大數量有限集差固定常數的集合被全部寫出，那么再寫該常數多個元素，就能寫出最大有限集，這與剛才的結果矛盾。
定理：位數最多的非無限循環有理數（如果存在的話）是不可能被寫出的，儘管它的定義是有有限位，但它是無限趨近於無理數的，以至於沒有手段進行判斷。
證明：假設位數最多的非無限循環有理數被寫出，我們在這個數的最後再加一位，這個數還是有限位有理數，但位數比已寫出有理數多一位，證明原來寫出的不是位數最多的非無限循環有理數。所以位數最多的非無限循環有理數是不可能被寫出的。
性質
可數集具有以下性質：
2、有限多個可數集的並集是可數的；
3、在承認可數選擇公理的前提下，可數多個可數集的並集是可數的；
4、有限多個可數集的笛卡爾積是可數的；
5、對集合S，下面3種說法等價：
7、定義域為可數集的滿射，其值域至多可數。
實例
自然數
0，1，2，3，4，5，6，……，n，……
根據定義，自然數集顯然是可數集。
注意一個可數集“可數”的方式不一定唯一，如下面也是自然數集和自身的一一對應：
1，0，2，3，4，5，6，7，8，9，……（以下按順序排列）
6，5，4，3，2，1，0，7，8，9，……（以下按順序排列）
1，0，3，2，5，4，7，6，9，8，……（以下按規律排列）
非負偶數
0，2，4，6，8，10，12，……，2n，……
非負偶數組成的集合是一個無限可數集，由上面列舉的順序即可看出對應關係：非負偶數2n對應自然數n。
非負奇數
1，3，5，7，9，11，13，……，2n+1，……
同理，非負奇數2n+1對應自然數n。
這說明一個可數集可以含有可數的真子集，反過來，兩個可數集也可以並成一個可數集。
整數集
0，1，-1，2，-2，3，-3，……
有理數集
0，1/1，-1/1，2/1，-2/1，1/2，-1/2，3/1，-3/1，3/2，-3/2，1/3，-1/3，2/3，-2/3，4/1，-4/1，4/3，-4/3，1/4，-1/4，3/4，-3/4，5/1，-5/1，……
整數集與有理數集都是可數集。按照基數概念，能一一對應的兩個集合的基數相同，於是有理數集、整數集、全體正偶數集等與自然數集有相同的基數。在這個意義上說，這些集合所含元素是“一樣多”，但這些集合又是一個包含另一個作為真子集，所以又不同於有限集元素的“多少”概念。
正整數集合
∅，{1}，{2}，{1,2}，{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，{4}，……
正整數序列
空序列，（1），（2），（1,1），（1,2），（2,1），（2,2），（3），（1,3），（2,3），（3,3），（1,1,1），（1,1,2），（1,1,3），（1,2,1），……（3,3,3），（4），（1,4），……，（4,4），（1,1,4），……，（4,4,4），（1,1,1,1），……，（4,4,4,4），（5），……
