元素(數學概念)

概念

集合是數學的基本概念之一，具有某種特定屬性的事物的全體稱為"集"，而元素就是組成集的每個事物。

研究集的運算及其性質的數學分支叫做集論或集合論集合的定義很廣，不僅限於數學，在生產生活中對於集合的使用也是很廣泛的，而組成特定集合的具有特定屬性的事物全部都可以稱做元素，所以元素的定義也很廣泛，

某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。

集合中的元素有多種特性，下面一一進行說明。

對於一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。

例：“大於1的實數”可以構成一個集合，“201”

任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。

集合中的元素是平等的，沒有先後順序。因此判定兩個集合是否相同，只需要比較他們的元素是否一樣，不需考察排列順序是否一樣。
如：{a,b,c}={a,c,b}

集合的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

符合條件的元素均在集合中。

如：所有大於0且小於1的實數都在集合（0,1）中。

集合中的所有元素均符合條件。

如：集合（0,1）中的所有元素為均大於0且小於1的實數。

元素a與一個給定的集合A只有兩種可能：

1、a屬於集合A，表述為a是集合A的元素，記作a∈A

2、a不屬於集合A，表述為a不是集合A的元素，記作a∉A。

把所有集合分為2類，第一類中的集合以其自身為元素，第二類中的集合不以自身為其元素，假設令第一類集合所組成的集合為P，第二類所組成的集合為Q，則有：P={A∣A∈A} ，Q={A∣A∉A} 。

問題：Q∈P 還是 Q∉P？

若Q∈P，則根據第一類集合的定義，必有Q∈Q，而Q中的任何集合都有A∉A的性質，因為Q∈Q，所以Q∉Q，引出矛盾。

若Q∉P，根據第一類集合的定義，A∈A，所以Q∉Q，而根據第二類集合的定義，所以Q∈Q，根據第一類集合的定義，A∈A，所以Q∈P，引出矛盾。

這就是著名的“羅素悖論”（Russell's paradox）。羅素悖論還有一些較為通俗的解釋，如理髮師悖論等。

為消除該悖論，集合論中規定：所有集合不能以自己為元素。