羅素悖論

羅素悖論是由羅素髮現的一個集合論悖論，其基本思想是：對於任意一個集合A，A要么是自身的元素，即A∈A；A要么不是自身的元素，即A∉A。根據康托爾集合論的概括原則，可將所有不是自身元素的集合構成一個集合S₁，即S1={x:x∉x}。

基本介紹

• 中文名：羅素悖論
• 外文名：antinomy of Russell
• 分類：數學
• 舉例：理髮師悖論 書目悖論。
• 發現：羅素
• 時間：1903年

簡介

20世紀之初，數學界甚至整個科學界籠罩在一片喜悅祥和的氣氛之中，科學家們普遍認為，數學的系統性和嚴密性已經達到，科學大廈已經基本建成。例如，德國物理學家基爾霍夫(G．R．Kirchhoff)就曾經說過：“物理學將無所作為了，至多也只能在已知規律的公式的小數點後面加上幾個數字罷了。”英國物理學家開爾文(L．Kelvin)在1900年回顧物理學的發展時也說：“在已經基本建成的科學大廈中，後輩物理學家只能做一些零碎的修補工作了。”法國大數學家彭迦萊(Poincar6)在1900年的國際數學家大會上也公開宣稱，數學的嚴格性，現在看來可以說是實現了。然而好景不長，時隔不到兩年，科學界就發生了一件大事，這件大事就是羅素(Russell)悖論的發現。

例子

理髮師悖論

在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。

理髮師悖論與羅素悖論是等價的：如果把每個人看成一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象。那么，理髮師宣稱，他的元素，都是城裡不屬於自身的那些集合，並且城裡所有不屬於自身的集合都屬於他。那么他是否屬於他自己？這樣就由理髮師悖論得到了羅素悖論。反過來的變換也是成立的。

“理髮師悖論”是很容易解決的，解決的辦法之一就是修正理髮師的規矩，將他自己排除在規矩之外；可是嚴格的羅素悖論就不是這么容易解決的了。

書目悖論

一個圖書館編纂了一本書名詞典，它列出這個圖書館裡所有不列出自己書名的書。那么它列不列出自己的書名？這個悖論與理髮師悖論基本一致。

影響

十九世紀下半葉，德國數學家康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的讚譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。“一切數學成果可建立在集合論基礎上”這一發現使數學家們為之陶醉。

1903年，一個震驚數學界的訊息傳出：集合論是有漏洞的。這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。羅素的這條悖論使集合論產生了危機。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。德國的著名邏輯學家弗雷格在他的關於集合的基礎理論完稿付印時，收到了羅素關於這一悖論的信。他立刻發現，自己忙了很久得出的一系列結果卻被這條悖論攪得一團糟。他只能在自己著作的末尾寫道：“一個科學家所碰到的最倒霉的事，莫過於是在他的工作即將完成時卻發現所乾的工作的基礎崩潰了。”

公理化集合論的建立，成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展。

於是，數學的基礎被動搖了，這就是所謂的第三次數學危機。

羅素的悖論發表之後，接著又發現一系列悖論（後來歸入所謂語義悖論）：

1. 理察悖論
   
2. 培里悖論
   
3. 格瑞林和納爾遜悖論
   

悖論的解決

羅素構造了一個集合S：S由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬於S，根據S的定義，s就不屬於S；反之，如果s不屬於S，同樣根據定義，s就屬於S。無論如何都是矛盾的。

羅素悖論提出後，數學家們紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。”解決這一悖論主要有兩種選擇，ZF公理系統和 NBG公理系統。

1908年，策梅羅（Ernst Zermelo）在自己這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，後來這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。這一公理系統在通過弗蘭克爾（Abraham Fraenkel）的改進後被稱為ZF公理系統。在該公理系統中，由於分類公理（Axiom schema of specification）：P(x)是x的一個性質，對任意已知集合A，存在一個集合B使得對所有元素x∈B若且唯若x∈A且P(x)；因此{x∣x是一個集合}並不能在該系統中寫成一個集合，由於它並不是任何已知集合的子集；並且通過該公理，存在集合A={x∣x是一個集合}在ZF系統中能被證明是矛盾的，因此羅素悖論在該系統中被避免了。

除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如馮·諾伊曼（von Neumann）等人提出的NBG系統等。在該公理系統中，所有包含集合的"collection"都能被稱為類(class)，凡是集合也能被稱為類，但是某些 collection太大了（比如一個collection包含所有集合）以至於不能是一個集合，因此只能是個類。這同樣也避免了羅素悖論。