基本介紹
- 中文名：ZF公理系統
- 別稱：公理化集合論
- 提出者：Cantor、策梅洛
- 提出時間：1908年
- 套用學科：集合
- 適用領域範圍：集合論
公理化集合論,說明及套用,
公理化集合論
(1)外延公理（容積公理）：一個集合完全由它的元素所決定。如果兩個集合含有的元素相同，則它們是相等的。
(2)分離公理模式：“對任意集合X和任意對X的元素有定義的邏輯謂詞P(z)，存在集合Y，使z∈Y 若且唯若z∈X而且P(z)為真”
也就是說：若X是一個集合，那么可以斷定，Y={x∈X|P（x）}也是一個集合。
(3)配對公理：對任意a和b是對象，則存在一個集合{a，b}，其僅有的元素是a和b。也就是說：我們可以用一個集合Z={X,Y}來表示任給的兩個集合X,Y，稱之為X與Y的無序對。
(4)並集公理：任給一族M，存在UM（稱為M的並）它的元素恰好為M中所含元素的元素。也就是說：我們可以把族M的元素的元素匯集到一起，組成一個新集合。
註：為了方便描述，定義族表示其元素全為集合的集合。
(5)冪集公理(子集之集公理)：對任意集合X，存在集合P（X），它的元素恰好就是X的一切子集。也就是說：存在以已知集合的一切子集為元素的集合。
(6)無窮公理：存在歸納集。（存在一個集合，空集是其元素，且對其任意元素x，x+=x∪{x}也是其元素）
也就是說，存在一集合x，它有無窮多元素。
(7)替換公理模式（置換公理）：也就是說，對於任意的函式F（x），對於任意的集合T，當x屬於T時，F（x）都有定義（ZF中唯一的對象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合S，使得對於所有的x屬於T，在集合S中都有一元素y，使y=F（x）。也就是說，由F（x）所定義的函式的定義域在T中的時候，那么它的值域可限定在S中。
準確的定義：“對任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y為空集。”
以上8條公理組成了ZF公理系統，再加上選擇公理，則組成了ZFC公理系統
說明及套用
公理1~8組成了ZF集合論公理系統，即著名的ZF公理體系。9作為與前8個獨立的公理，在數學分析中經常用到。
公理1，2可以推出任何集合X有空子集，且空集唯一。
通過公理3，可以定義有序對（X,Y）：={{X,X}，{X,Y}}。
公理1~5可以限制新集合形成的可能，從而消除羅素悖論中的集合(存在集合A滿足A不包含於自己)。
公理6，連同1~4，按照馮諾依曼的提出（根據皮亞諾公理系統對自然數的描述）可以建立自然書數集N0的標準模型。
