值域(數學名詞，函式經典定義)

值域：數學名詞，函式經典定義中，因變數改變而改變的取值範圍叫做這個函式的值域，在函式現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。f：A→B中，值域是集合B的子集。如：f(x)=x,那么f(x)的取值範圍就是函式f(x)的值域。

在實數分析中，函式的值域是實數，而在複數域中，值域是複數。

基本介紹

• 中文名：值域
• 外文名：range
• 套用範圍：數學，電腦編程等
• 對象：函式
• 特點：隨定義域變化
• 意義：函式在某定義域上的取值範圍

定義

函式經典定義中，因變數的取值範圍叫做這個函式的值域,在函式現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。即{y∣y=f(x),x∈D}

常見函式值域：

y=kx+b （k≠0）的值域為R

y=k/x 的值域為(-∞,0)∪(0,+∞)

y=√x的值域為x≥0

y=ax^2+bx+c 當a>0時，值域為 [4ac-b^2/4a,+∞) ；

當a<0時，值域為（-∞，4ac-b^2/4a]

y=a^x 的值域為 (0,+∞)

y=lgx的值域為R

常用方法

化歸法

在解決問題的過程中，數學家往往不是直接解決原問題，而是對問題進行變形、轉化，直至把它化歸為某個(些)已經解決的問題，或容易解決的問題。 把所要解決的問題，經過某種變化，使之歸結為另一個問題*，再通過問題*的求解，把解得結果作用於原有問題，從而使原有問題得解，這種解決問題的方法，我們稱之為化歸法；

解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變數去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、複雜問題簡單化，變得容易處理。　換元法又稱輔助元素法、變數代換法。通過引進新的變數，可以把分散的條件聯繫起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯繫起來。或者變為熟悉的形式，把複雜的計算和推證簡化。　它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函式、數列、三角等問題中有廣泛的套用。。 例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12時，可以令y=x²+x,則　原式=(y+1)(y+2)-12　=y²+3y+2-12=y²+3y-10　=(y+5)(y-2)　=(x²+x+5)(x²+x-2)　=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．　例2，(x+5)+(y-4)=8　(x+5)-(y-4)=4　令x+5=m,y-4=n　原方程可寫為　m+n=8　m-n=4　解得m=6,n=2　所以x+5=6,y-4=2　所以x=1,y=6 注意：換元後勿忘還原；

利用函式和他的反函式定義域與值域的互逆關係，通過求反函式的定義域，得到原函式的值域；

圖像法

根據函式圖象，觀察最高點和最低點的縱坐標。

配方法

利用二次函式的配方法求值域，需注意自變數的取值範圍。

單調性法

利用二次函式的頂點式或對稱軸，再根據單調性來求值域。

反函式法

若函式存在反函式，可以通過求其反函式，確定其定義域就是原函式的值域。

換元法

包含代數換元、三角換元兩種方法，換元後要特別注意新變數的範圍。

判別式法

判別式法即利用二次函式的判別式求值域。

複合函式法

設複合函式為f[g(x)，]g(x) 為內層函式, 為了求出f的值域，先求出g(x)的值域, 然後把g(x) 看成一個整體，相當於f(x)的自變數x，所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定義域，然後根據 f(x)函式的性質求出其值域；

三角代換法

利用基本的三角關係式，進行簡化求值。例如：a的平方+b的平方=1，c的平方+d的平方=1，求證：ac+bd小於或等於1. 直接計算麻煩 用三角代換法比較簡單：做法：設a=sin x ,b=cos x ,c=sin y , d=cos y,則 ac+bd= sin x*sin y + cos x * cos y =cos (y-x),因為我們知道cos (y-x)小於等於1，所以不等式成立。；

不等式法

基本不等式法：利用a+b≥2√ab(其中a,b∈R+)求函式值域時，要時刻注意不等式成立的條件，即“一正，二定，三相等”。

分離常數法

把分子分母中都有的未知數變成只有分子或者只有分母的情況，由於分子分母中都有未知數與常數的和，所以一般來說我們分拆分子，這樣把分子中的未知數變成分母的倍數，然後就只剩下常數除以一個含有未知數的式子

關於誤區

定義域、對應法則、值域是函式構造的三個基本“元件”。平時數學中，實行“定義域優先”的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或淡化了，對值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學生對函式的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當的，絕不能厚此薄彼，何況它們二者隨時處於互相轉化之中（典型的例子是互為反函式的定義域與值域的相互轉化）。如果函式的值域是無限集的話，那么求函式值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時並不能奏效，還必須聯繫函式的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函式的取值情況。才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難。實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利於對定義域內函式的理解，從而深化對函式本質的認識。

範圍

“範圍”與“值域”是我們在學習中經常遇到的兩個概念.許多同學常常將它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念。“值域”是所有函式值的集合（即集合中每一個元素都是這個函式的取值），而“範圍”則只是滿足某個條件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都滿足這個條件）。也就是說:“值域”是一個“範圍”，而“範圍”卻不一定是“值域”。

高等代數值域

設A是線性空間V的一個線性變換，由A的全體象組成的集合稱為A的值域，記為AV，且有

所以AV對於線性運算封閉，當然，AV非空，因此AV是V的子空間。

又有AV包含於V可以看出AV是A的不變子空間。