基本介紹
定義,圖像特徵,運算,判斷單調,誤區警示,奇偶數,
定義
設函式f(x)的定義域D；
⑵如果對於函式定義域D內的任意一個x，都有f(-x)=f(x），那么函式f(x）就叫做偶函式。
⑶如果對於函式定義域D內的任意一個x，f(-x)=-f(x）與f(-x)=f(x）同時成立，那么函式f(x）既是奇函式又是偶函式，稱為既奇又偶函式。
⑷如果對於函式定義域內的任意一個x，f(-x)=-f(x）或f(-x)=f(x）都不能成立，那么函式f(x）既不是奇函式又不是偶函式，稱為非奇非偶函式。
說明：①奇、偶性是函式的整體性質，對整個定義域而言。
②奇、偶函式的定義域一定關於原點對稱，如果一個函式的定義域不關於原點對稱，則這個函式一定不是奇（或偶）函式。
（分析：判斷函式的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關於原點對稱，然後再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f(x）比較得出結論）
③判斷或證明函式是否具有奇偶性的根據是定義、變式。
變式：奇：f(x)+f(-x)=0; f(x)*f(-x)=-f^2(x); f(x)/f(-x)=-1.
偶：f(x)-f(-x)=0; f(x)*f(-x)=f^2(x); f(x)/f(-x)=1.
圖像特徵
推論：如果對於任一個x，都有f(a+x)+f(b-x)=c，那么函式圖像關於（a/2+b/2，c/2）中心對稱；
如果對於任意一個x，有f(a+x)=f(a-x），那么函式圖像關於x=a軸對稱。
奇函式的圖像關於原點對稱
點（x,y）→（-x,-y）
偶函式的圖像關於y軸對稱
點（x,y）→（-x,y）
偶函式在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上單調遞減。
運算
⑴ 兩個偶函式相加所得的和為偶函式。
⑵ 兩個奇函式相加所得的和為奇函式。
⑶ 兩個偶函式相乘所得的積為偶函式。
⑷ 兩個奇函式相乘所得的積為偶函式。
⑸一個偶函式與一個奇函式相乘所得的積為奇函式。
⑹幾個函式複合，只要有一個是偶函式，結果是偶函式；若無偶函式則是奇函式。
⑺偶函式的和差積商是偶函式。
⑻奇函式的和差是奇函式。
⑼奇函式的偶數個積商是偶函式。
⑽奇函式的奇數個積商是奇函式。
⑾奇函式的絕對值為偶函式。
⑿偶函式的絕對值為偶函式。
